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Beispiel 1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für \( \mathrm{x} \rightarrow+\infty \) und \( \mathrm{x} \rightarrow-\infty \) und geben Sie die Gleichung der Asymptote an.
a) \( f: x \mapsto 4-3 e^{-x} \)
b) \( f: x \mapsto \frac{x^{3}}{e^{x}}+5 \)
c) \( f: x \mapsto \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \)
Lösung:
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(4-3 e^{-x}\right)=4 \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{-x}=0 ; \) Asymptote: \( y=4 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(4-3 e^{-x}\right)=-\infty \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} e^{-x}=+\infty \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x}}+5\right)=5 \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^{3} \cdot e^{-x}\right)=0 ; \) Asymptote: \( y=5 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x}}+5\right)=-\infty \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3} \cdot e^{-x}\right)=-\infty \)
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{0,5}}=0 ; \) Asymptote für \( x \rightarrow+\infty: y=0 \) (f ist für \( x<0 \) nicht definiert.)



Problem/Ansatz:

Die Lösung steht zwar dar jedoch sind mir Grenzverhalten ein Rätsel. Kann mir jemand die Schritte erklären um das Grenzverhalten zu berechnen?

Vielen Dank im Voraus!!

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Was verstehst du nicht? Die Erklärung steht doch dabei.

Es geht darum, was geschieht, wenn man ganz große oder ganz kleine Zahlen für x einsetzt.

Was eine Asymptote ist, solltest du wissen.

Hallo,

das kann man nicht "berechnen". Man benötigt Wissen über den Graphen der Exponentialfunktion und der Logarthmusfunktion und Wissen, wie das Wachstumsverhalten jeweils im Vergleich zu Potenzen ist.

Je nach Lernort (Schule / Universität) musst Du selbst wissen, ob Du das auswendig lernen musst / sollst oder aufgrund der Definition der E-Funktion Dir kurz selbst herleiten kannst / sollst / musst.

Gruß Mathhilf

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