Aufgabe:
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Beispiel 1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für \( \mathrm{x} \rightarrow+\infty \) und \( \mathrm{x} \rightarrow-\infty \) und geben Sie die Gleichung der Asymptote an.
a) \( f: x \mapsto 4-3 e^{-x} \)
b) \( f: x \mapsto \frac{x^{3}}{e^{x}}+5 \)
c) \( f: x \mapsto \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \)
Lösung:
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(4-3 e^{-x}\right)=4 \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{-x}=0 ; \) Asymptote: \( y=4 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(4-3 e^{-x}\right)=-\infty \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} e^{-x}=+\infty \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x}}+5\right)=5 \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^{3} \cdot e^{-x}\right)=0 ; \) Asymptote: \( y=5 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x}}+5\right)=-\infty \), da \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3} \cdot e^{-x}\right)=-\infty \)
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{0,5}}=0 ; \) Asymptote für \( x \rightarrow+\infty: y=0 \) (f ist für \( x<0 \) nicht definiert.)
Problem/Ansatz:
Die Lösung steht zwar dar jedoch sind mir Grenzverhalten ein Rätsel. Kann mir jemand die Schritte erklären um das Grenzverhalten zu berechnen?
Vielen Dank im Voraus!!
