Fünf Vektoren aus dem reellen Raum R^3. Zeige, dass sie ein Erzeugendensystem sind.

Question

Betrachten Sie die folgenden fünf Vektoren aus
dem reellen Raum:
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {4} \\ {-2} \end{array}\right) \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) \quad v_{5}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) $$
(1) Zeigen Sie, dass diese Vektoren ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{R } ^ { 3 } \text { bilden. }\)
(2) Dünnen Sie die Menge dieser fünf Vektoren zu einer Basis aus.
(3) Stellen Sie die verbleibenen Vektoren als Linearkombination der gefunde-
Basis dar.

Answer 1

a) Ich zeige, dass mindestens 3 von diesen Vektoren linear unabh. sind, indem ich 3 von ihnen als Spalten in eine 3*3-Matrix stelle, und dann die Determinante ausrechne.

A = 

(2 0 2

0  1 0

1  3 1)

Det(A) = 2-0 = 2 ≠ 0.

Diese 3 Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen den R^3. Folglich sind alle 5 Vektoren erst recht linear unabhängig.

b) Die Vektoren v1, v2, v4 sind wie gezeigt linear unabhängig und daher eine Basis von R^3.

c) Löse nun noch die beiden Gleichungssysteme

av1 + bv2 + cv4 = v3

und

av1 + bb2 + cv4 = v5

auf.     Dann hast du die geforderten Linearkombinationen.

Comments

und warum bilden die jetzt ein Erzeugendensystem?

man soll sie vektoren ausdünnen und zu einer basis machen, wie geht das?

und wie sehen sie verbleibenden vektoren als als linearkombi der basis aus?

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und warum bilden die jetzt ein Erzeugendensystem? 

man soll sie vektoren ausdünnen und zu einer basis machen, wie geht das? 

Nötige Theorie ist oben erwähnt. Dort steht alles, was nötig ist, wenn bekannt ist, dass R^3 die Dimension 3 hat. Verweise dabei auf den entsprechenden Satz in eurem Skript.

und wie sehen sie verbleibenden vektoren als als linearkombi der basis aus?

Hast du die beiden LGS, die ich bei c) angegeben habe, denn schon nach a,b,c aufgelöst?