Erzeugendensystem, Erklärung

Question

Ich dachte ich hätte es verstanden, aber irgendwie doch nicht.

Ich habe vier Vektoren gegeben \( \left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4\\1\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 14\\4\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \right\} \)

Ich soll zeigen, dass diese Vektoren eine Basis von V=ℝ^4 sind.

Das heißt ich muss folgendes zeigen:

1. lineare Unabhängigkeit

2. Erzeugendensystem

Das die Vektoren linear unabhängig sind habe ich mit der Determinante gezeigt. Jetzt wollte ich mich am Erzeugendensystem versuchen, aber komme nicht weiter. 

Erzeugendensystem heißt, ich kann meine Vektoren als Linearkombination aufschreiben. Habe v ∈ V gewählt und λ ∈ ℝ und habe das als Linearkombination aufgeschrieben. Ich denke bzw. bin mir sicher, dass das nicht genug ist.  Was muss ich weiter machen ? Ausrechnen ?

Comments

Je nach dem, was ihr in der Vorlesung hattet kannst du auch begründen, dass es aus Dimensionsgründen zeigt die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Ansonsten musst du es wie folgt machen (ich nenne die Basisvektoren mal \(b_1,\dots,b_4\) ):

Nehme \(v\in \mathbb{R}^4\) beliebig. Denn du willst ja zeigen, dass jeder Vektor als Linearkombination deiner Vektoren darstellbar ist. D.h.

$$ v= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} $$

Und jetzt löst du allgemein das Gleichungssystem

$$ v = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 + \lambda_3 b_3 + \lambda_4 b_4 $$

also du bestimmst die \(\lambda_i\).

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Würde es dann nicht reichen λ als beliebte reelle Zahl zu definieren, als Linearkombination mit den Vektoren aufzuschreiben und fertig ?

Oder müssen da noch extra Zahlen hin ?

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Wenn du das einfach so aufschreibst hast du ja nichts gezeigt. Du musst ja zeigen, dass sich jeder Vektor als Linearkombination der Vektoren des (vermeintlichen) Erzeugendensystems darstellen lässt. D.h. du kannst erst mal nicht zeigen, dass es für einen bestimmten Vektor (z.B. \((0,1,0,1)\) ) oder so gilt, sondern musst es für alle machen, d.h. nimmst einen beliebigen wie ich das oben gemacht habe. Dann musst du eben zeigen, dass diese Linearkombination wirklich existiert und dafür musst du die Koeffizienten sprich die Lambdas ausrechnen.

Answer 1

Jetzt wollte ich mich am Erzeugendensystem versuchen, aber komme nicht weiter. 

Da (1,0,0,0) , (0,1,0,0), (0.0.1,0) und (0,0,0,1) eine Basis von R^4 ist, hat r^4 die Dimension 4.

Nachdem du 4 linear unabh. Vektoren vor dir hast, müssen die ganz R^4 erzeugen.

Comments

Ich hab Grad einen Satz aus der Vorlesung gefunden, der folgendes sagt:

"V lK-Vektorraum, dim_lK(V) = n

Sind v₁...v_n ∈  V linear unabhängig, so ist {v_1...v_n} eine Basis von V."

Ich habe einen ℝ⁴, also ist meine dim_lK=4. Ich hab die lineare Unabhängigkeit gezeigt, also kann ich mit diesem Satz begründen, dass meine Vektoren eine Basis von V sind ?

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Das ist vernünftig, wenn du das so schreibst. Zitiere gleich den Satz aus der Vorlesung in deiner Antwort.

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Ok, danke für deine Hilfe !