Für welche Werte des Parameters a Element von reellen Zahlen liegt eine eindeutige Lösbarkeit vor?

Question

Aufgabe:

LGS mit Parameter

Problem/Ansatz:

Für welche Werte des Parameters a Element von reellen Zahlen liegt eine eindeutige Lösbarkeit vor?

3x+4y=7

2x-6y=a+12

Answer 1

Für alle Werte des Parameters $a\in \mathbb{R}$ liegt eine eindeutige Lösbarkeit vor.

Comments

Wie kommt man darauf?

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Man löst das Gleichungsystem nach $x$ und $y$ undt stellt fest dass es keinen Grund gibt, irgendeinen Wert für $a$ auszuschließen.

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Brauche Hilfe beim Lösen des Gleichungssystems.

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Subtrahiere das doppelte der ersten Gleichung vom dreifachen der zweiten Gleichung.

Löse die entstande Gleichung nach $y$ auf.

Setze in die erste Gleichung ein und löse nach $x$ auf.

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Habe ich gemacht.

Ist

x = -2/13a + 45/13

y = -3/26a - 11/13

Richtig?

Answer 2

Aloha :)

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat, hängt allein von der Koeffizientenmatrix ab, genauer gesagt muss deren Determinante $\ne0$ sein. Ist die Determinante $=0$, entscheidet der Ergebnisvektor ob das Gleichungssystem keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Wir prüfen die Determinante der Koeffizientenmatrix:$$\left|\begin{array}{rr}3 & 4\\2 & -6\end{array}\right|=-18-8=-26\ne0\quad\implies\quad\text{immer genau eine Lösung}$$Unabhängig von $a$ ist die Determinante immer $\ne0$, sodass es für jedes $a$ genau eine Lösung gibt.

Comments

Sind meine Lösungen richtig?

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Rechnen wir mal gemeinsam nach:

$$\begin{array}{rr|c|l}x & y & = &\text{Operation}\\\hline3 & 4 & 7 & -\text{Zeile }2\\2 & -6 & a+12\\\hline1 & 10 & -a-5\\2 & -6 & a+12 & -2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & 10 & -a-5\\0 & -26 & 3a+22 &\colon(-26)\\\hline 1 & 10 & -a-5 & -10\cdot\text{Zeile }2\\0 & 1 & -\frac{3a}{26}-\frac{22}{26}&\\[1ex]\hline 1 & 0 & \frac{4a}{26}+\frac{90}{26} & \\[1ex]0 & 1 & -\frac{3a}{26}-\frac{22}{26}&\end{array}$$Damit haben wir als Lösung:$$x=\frac{2}{13}a+\frac{45}{13}\quad;\quad y=-\frac{3}{26}a-\frac{11}{13}$$

Deine Lösungen sind fast richtig, nur ein Vorzeichen bei $x=\ldots$ passt nicht.