Bestimmen Sie die Bestapproximation der Funktion

Question

Aufgabe:

(i) Bestimmen Sie die Bestapproximation der Funktion \( u:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R} \),
\( u(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & |t|<\frac{\pi}{2} \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
in
\( \operatorname{Spann}(\{1, \sin (t), \cos (t), \sin (2 t), \cos (2 t), \ldots, \sin (k t), \cos (k t)\}) \)
bezüglich dem Skalarprodukt
\( \langle f, g\rangle=\int \limits_{-\pi}^{\pi} f(t) g(t) \mathrm{d} t . \)
(ii) Wir betrachten den Vektorraum \( \Pi_{2} \) der Polynome vom Grad höchstens 2 mit dem Skalarprodukt
\( \langle p, q\rangle=\sum \limits_{i=0}^{2} p(i) q(i) \)
vgl. Große Ưbung \( 2, A_{3} \) (ii). Bestimmen Sie die Bestapproximation der Funktion \( p(t)=t^{2}-t \) in
\( \operatorname{Spann}(\{1, t\}) \)
bezüglich diesem Skalarprodukt.

Hey, bei der folgenden Aufgabe blicke ich überhaupt nicht durch, wie ich sowas rechnen soll. Bei meiner Übung wurde es nicht so intensiv behandelt, wie ich es brauchen würde (konnte es mir nicht live angucken, war krank. Wäre wirklich toll, wenn ihr da helfen könntet

Comments

Hallo,

ich schreibe Dir mal einen Ansatz in den Kommentar, damit die Frage als ungelöst markiert bleibt:

Wir haben einen Skalarproduktraum X und einen Unterraum V.

1. Problem: Gegeben ist \(x \in X\), gesucht ist \(v \in V\) mit
$$\|x-v\| \leq \|x-w\| \forall w \in V$$

Damit würde v das Element x am besten approximieren, verglichen mit allen möglichen w aus V.

2. Notwendig und hinreichend ist die Bedingung:

$$\langle x-v,w\rangle=0 \forall w \in V$$

D.h die Verbindung von x zu v muss senkrecht auf V stehen. Das ist plausibel, wenn man sich eine Skizze in der Ebene macht.

3. Wenn \((w_1, \ldots,w_n)\) eine Basis für V ist, führt dies alles zu einem Gleichungssystem: das gesuchte v hat eine Darstellung \(v=\sum_i^ns_i w_i\) und es gilt:

$$0=\langle x-v,w_k\rangle =\langle x,w_k \rangle-\sum_{i=1}^n \langle w_i,w_k\rangle s_i, k=1,2,...,n$$

Im Fall (i) stehen die Basis-Elemente sogar senkrecht aufeinander und das o.g. Gleichungssystem besteht nur aus den Diagonalelementen, ist also praktische aufgelöst. Dieses Beispiel habt Ihr wahrscheinlich ausführlich behandelt, es geht um die Fourier-Reihen-Entwicklung.

Gruß Mathhilf