Bestapproximation : für welchem Wert gilt diese Ungleichung?

Question

Hallo :) ich habe grösse Probleme mit der Lösung dieser Aufgabe. Ich weiß nicht wie man das vorangehen muss und habe online irgendwo gecheckt aber mit ungenügenden Ergebnisse. :)

Aufgabe:

Sei V = R³ und U = span{e₁, e₂} ⊂ V wobei e_i der i-te Einheitsvektor ist.
a) Für welchen Vektor v₀ ∈ U gilt :

                                                             ||v₀ − v₁||₂ ≤ ||v − v₁||₂,    ∀v ∈ U

mit v₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) ?

Begründen Sie ihre Antwort.

b) Wie groß ist die Norm ||v₀ − v₁||₂ ?

Answer 1

Das U ist ja die Menge aller Vektoren, die in der x1x2-Ebene liegen.

v − v1 für alle v∈U sind also die Vektoren, die einen Punkt der

x1x2-Ebene mit der Spitze von v1 verbinden.

Wenn nun diese Verbindung möglichst kurz sein soll,

muss vo sozusagen senkrecht unter der Spitze von

v1 liegen (senkrechte Projektion von v1 in die x1x2-Ebene)

Das wäre also vo =

1
2
0

Und bei b) erhältst du dann eben als Ergebnis die 3.

Comments

hallo mathef, welches Verfahren hast du befolgt um V0 zu bestimmen?

ich habe probiert V0 von der Formel zu entnehmen aber das führt mir immer zu viele skalarprodukten, die nicht nüzlich sind.

Kannst du bitte die Schritten deiner Erwägung zu schreiben?

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Wenn du von der Spitze von v1 senkrecht runter gehst auf

die x1x2-Ebene, ändert sich nur die x3 Koordinate.

Wenn du in der  x1x2-Ebene angekommen bist, ist sie 0.

Also: Einfach die 3. Koordinate von v1 gleich 0 setzen.