Orthonormale Familie in Vektorraum V

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨·,·⟩ und (v1, . . . , vr) eine orthonormale Familie in V . Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

(i) (v1,...,vr) ist eine Basis von V.
(ii) Ist v∈V,so folgt aus⟨v,vi⟩=0 für alle i,dass v=0 ist.
(iii) Ist v∈V, so gilt v= Σ^r_i=1=1⟨v,vi⟩·vi.
(iv) Für alle v, w ∈ V gilt ⟨v, w⟩ = Σ^r_i=1⟨v, vi⟩ · ⟨vi, w⟩.

(v) Für alle v ∈ V gilt ∥v∥² = ∑^r_i=1|⟨v, vi⟩|², wobei ∥v∥ := √⟨v, v⟩.

Ich habe gar keinen Ansatz, könnte mir jemand bitte ein Tipp geben oder erklären, was ich hier machen soll?

Answer 1

Anfang vielleicht so:

(i) ==> (ii)  : (v1,...,vr) ist eine Basis von V.

==>  Jedes  v∈V lässt sich darstellen in der Form

\(   v = \sum \limits_{k=1}^n a_i v_i \)

==>  \( <v,v> = < v , \sum \limits_{k=1}^n a_i v_i \)

wegen der Multilinearität des Skalarproduktes also

\( <v,v> = \sum \limits_{k=1}^n < v, a_i v_i >  = \sum \limits_{k=1}^n a_i< v, v_i >  = 0 \)

Da alle \( <v,v_i> = 0   \).  Und aus <v,v> = 0 folgt v=0.

Damit ist (i) ==> (ii) gezeigt.

Comments

Vielen Dank erstmal. Warum folgt aus <v,v> dass v=0 ist? Ist das weil wenn v ungleich null wäre, müsste es genau ein Fall existieren, indem <v,v>=1 ?

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siehe z.B. dort: "positiv definit"

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_(Axiomatik)