die beste Approximation ausrechnen

Question

Aufgabe:

1. Seien \( C, D \in \mathbb{R}^{m, m} \) symmetrische Matrizen. Zeige, dass \( C D \) genau dann symmetrisch ist, wenn \( C D=D C \) gilt.
2. Seien
\( a_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad a_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad x=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) . \)
Das Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{z}: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) ist definiert über \( \langle x, y\rangle_{z}:=x_{1} y_{1}+4 x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \).


2.1. Bestimme mit Hilfe des GS-OGV eine ONB von \( \mathcal{A}:=\operatorname{spann}\left(a_{1}, a_{2}\right) \) bezüglich des Skalarprodukts \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{z} \).


2.2. Bestimme die Dimension von \( \mathcal{A} \).


2.3. Bestimme die beste Approximation von \( x \) durch \( \mathcal{A} \) bezüglich des Skalarprodukts \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{z} \).

Problem/Ansatz:

Aufgabe 2.1 und 2.2 habe ich soweit gelöst. Jedoch komme ich leider bei 2.3 und bei Aufgabe 1 nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Zu 2.3

Sei \(b_1,b_2\) die von Dir in 2.1 bestimmte ONB von \(\cal A\).

Dann ist die gesuchte Approximation \(P(x)=\langle x,\, b_1\rangle_z\cdot b_1 + \langle x,\, b_2\rangle_z\cdot b_2\). Einsetzen, ausrechnen, fertig.