Die beste Gauß-Approximation

Question

Text erkannt:

Gegeben sei \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbf{R} \) mit \( f(x)_{.}=2|x| \).
(i) Berechnen Sie die beste Approximation im Sinne von Gauss an \( f \) in den Polynomräumen \( P_{0}, P_{1}, P_{2} \) im Intervall \( [-1,1] \).
(ii) Berechnen Sie den \( L^{2} \)-Fehler der Bestapproximation für \( P_{0} \) und \( P_{1} \).
(iii) Wie müsste eine Quadraturformel aussehen, um den \( L^{2} \)-Fehler für die \( P_{2} \)-Näherung exakt zu berechnen?

Als Approximationen habe ich für P0: g0=2

P1: g1=

P2: g2=

Nun wäre meine Frage ob die Approximationen richtig sind und, wie muss ich bei (iii) vorgehen? Mein Ansatz wäre Simpson Regel, aber irgendwie passt das nicht.

Wenn mir jemand helfen könnte, würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hier fehlt die Angabe welche Norm verwendet werden soll.

Wenn es um die L2-Norm geht (schließe ich aus (ii), sollte aber oben irgendwo stehen, vlt auch bei der Def. der Polynomräume), dann komme ich auf g0=1 für P0.

Deine Ergebnisse für P1 und P2 fehlen. Wenn die vorliegen, und das Ergebnis von (ii), reden wir gerne über (iii). Die Aufgabenteile bauen aufeinander auf, also immer schön schrittweise.

Und lade Deine Rechnung hoch. Es hat keiner Lust alles selbst zu rechnen, wenn Du es schon gemacht hast.

Comments

Danke. Mir ist leider ein kleiner Fehler unterlaufen bei der Berechnung. Jetzt habe ich auch für P0 g=1

Text erkannt:

\( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x)=2|x| \)
a) Po hect Monombasis \( \{1\} \)

Bilde ONS \( \rightarrow \quad \tilde{w}_{1}=1 \quad\left\|\widetilde{w}_{1}\right\|=\sqrt{\int \limits_{-1} 1 d x}=\sqrt{2} \)
\( w_{1}=\frac{1}{\sqrt{1}} \text { also ONS: }\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\right\} \)

Damit: \( g=\left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\int \limits_{-1}^{1} 2|x| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} d x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left(\int \limits_{-1}^{0}-2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} d x+\int \limits_{0}^{1} 2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} d x\right)=1 \)
deso \( 90=1 \)
P1 hat Monombaies \( \{1, x\} \) Mit Gram-Shmielt folgt als
\( \begin{array}{l} \text { ONS: }\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{6}}{3} x\right\} \\ g=\int \limits_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2|x| d x-\frac{1}{\sqrt{2}}+\underbrace{\int \limits_{1}^{1} \frac{\sqrt{6}}{3} x \cdot 2|x| d x}_{=0} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} x \\ =1+0=1 \\ \end{array} \)
deso awh in \( P_{1}: g=1 \)
\( P_{2} \) hat Monombasis \( \left\{1, x, x^{2}\right\} \). Mit Eram-Schmielt erhalle ich
\( \begin{array}{l} \text { ONS: }\left\{\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{\sqrt{6}}{3} x, \frac{3 \sqrt{10}}{10} x^{2}\right\} \\ g=1+\int \limits_{-1}^{1} 2|x| \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{10} x^{2} d x \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{10} x^{2} \\ =1+\frac{9}{10} x^{2} \\ \| f-g_{0} / 2=\sqrt{\int \limits_{1}^{1}(2|x|-1)^{2}} d x=\sqrt{\int \limits_{-1}^{1} 4 x^{2}-4|x|+1 d x}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,8165 \\ \quad\left\|f-g_{1}\right\|_{2}=\sqrt{\int \limits_{-1}\left(2|x|-1-\frac{9}{10} x^{2}\right)^{2} d x}=\sqrt{\frac{293}{750}} \approx 0,6250 \end{array} \)

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Ich habe anders gerechnet (minimiere \(\int\limits_{-1}^1 (2|x|-(ax^2+bx+c))^2dx\) und erhalte: in P0: \(p(x)=1\), in P1: \(p(x)=1\), in P2: \(p(x)= \frac{15}8x^2+\frac38\).

Da sollte das gleiche rauskommen wie bei Deiner Rechnung. Allerdings hast Du die Polynombasis nicht richtig. Ein OGB sind die Legendre-Polynome, die lauten \(\{1, x, \frac12 (3x^2-1)\}\), die müssen noch normiert werden um eine ONB zu erhalten. Du siehst daran aber schon, dass Dein drittes Polynom nicht stimmt.

Beachte, in (ii) soll nur der Fehler in P0 und P1 berechnet werden. Da in beiden die gleiche Approximation rauskommt, ist der Fehler in beiden gleich, nämlich \(\sqrt{\frac23}\) (Dein Ergebnis stimmt). Dein Fehler für P2 stimmt nicht, weil Deine Approximation nicht stimmt. Aber Glück gehabt, der ist ja gar nicht gefragt. Verwende Deine Bezeichnungen g0, g1, g2 konsequent, dann passiert so was nicht.

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Ahhhhh, da hab ich mich ordentlich verrechnet beim Gram-Schmidt verfahren. Danke

Wie müsste denn jetzt der Ansatz für (iii) sein?

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Was in (iii) verlangt wird, ist mir unklar. Was ist mit "Aussehen einer QF" gemeint?
Zum L2-Fehler für dieses f mit dieser P2-Approximation: \(\int 2|x|-(\frac{15}8x^2-\frac38))^2dx =\frac1{24}\), d.h. der Fehler ist \(\frac1{\sqrt{24}}\).

Ich kann mir nun darauf speziell zugeschnitten eine QF basteln, nämlich

\(\int\limits_{-1}^1 f(x) dx \approx Qf:=\frac83\cdot\frac1{\sqrt{24}}\, f(0)\), diese liefert für den L2-Fehler genau \(\frac1{\sqrt{24}}\). Aber eben nur in diesem konkreten Beispiel. Also, was soll das?

Würde mich daher wundern, wenn es so gemeint ist.