Bruch mit vier Summanden / Minuenden Zusammenfassung

Question

Aufgabe mit Lösung:

Text erkannt:

Lösung vom Aufgabe 6:
\( \begin{array}{l} \frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \\ 1=\frac{(a-1)(a+1)(a+2)-(a-2)(a+2)(a+1)+(a-2)(a+2)(a-1)-(a-1)(a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)} \\ 2=\frac{\left(a^{2}-1\right)(a+2)-\left(a^{2}-4\right)(a+1)+\left(a^{2}-4\right)(a-1)-\left(a^{2}-1\right)(a-2)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ 3=\frac{\left(a^{2}-1\right)[(a+2)-(a-2)]+\left(a^{2}-4\right)[(a-1)-(a+1)]}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ 4=\frac{4\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}-4\right)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}=\frac{4 a^{2}-4-2 a^{2}+8}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}=\frac{2 a^{2}+4}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \quad a \neq \pm 1, a \neq \pm 2 \end{array} \)

Hallo zusammen,

ich benötige bitte Hilfe bei der obigen Aufgabe.

Die Schritte in Zeile 1. und 2. (rote Zahlen, von mir eingefügt) sind mir verständlich (Anwendung der dritten binomischen Formel).

Allerdings verstehe ich den nachfolgenden Schritt in Zeile 3. überhaupt nicht.

Wieso dürfen hier eckige Klammern gesetzt werden und wieso wird die Reihenfolge geändert?

Würde mich sehr über einen Hinweis freuen!

Danke

Answer 1

Hallo,

die Reihenfolge darf in einer gemischten Summe geändert werden, wenn das Rechenzeichen "mitgenommen" wird.

a-b+c-d = a-d + c-b

Die eckige Klammern werden gesetzt, da zwischen ihnen weitere Klammern stehen. Um sie besser zuordnen zu können, kann man statt runden Klammern eckige schreiben. Sie entstehen, da (a²-1) und (a²-4) ausgeklammert werden.

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a-2}-\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{a+2} \\[5mm]=\dfrac{(a-1)(a+1)(a+2)-(a-2)(a+2)(a+1)+(a-2)(a+2)(a-1)-(a-1)(a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)} \\[5mm]= \dfrac{\red{\left(a^{2}-1\right)(a+2)}\green{-\left(a^{2}-4\right)(a+1)}\blue{+\left(a^{2}-4\right)(a-1)}\pink{-\left(a^{2}-1\right)(a-2)}}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}  \\[5mm]= \dfrac{\red{\left(a^{2}-1\right)(a+2)}\pink{-\left(a^{2}-1\right)(a-2)}\blue{+\left(a^{2}-4\right)(a-1)}\green{ -\left(a^{2}-4\right)(a+1)}}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}\\[5mm]=\dfrac{\left(a^{2}-1\right)[(a+2)-(a-2)]+\left(a^{2}-4\right)[(a-1)-(a+1)]}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\[5mm]=\dfrac{4\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}-4\right)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}=\dfrac{4 a^{2}-4-2 a^{2}+8}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)}=\dfrac{2 a^{2}+4}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \quad a \neq \pm 1, a \neq \pm 2\end{array}\)

Comments

Sehr schön dargestellt, vielen Dank für die Hilfe :)

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Allerdings verstehe ich den nachfolgenden Schritt in Zeile 3. überhaupt nicht

Kein Wunder, da wurde Wichtiges im Kopf gemacht.

Mit montys Lösung wird es sofort nachvollziehbar.

Die vorgegebene Lösung ist m.E. didaktisch sehr schlecht, sie lässt wichtige

Zwischenschritte weg, ist und setzt viel Übung voraus.

Viele Schüler haben mit ihr sicher Probleme oder verzweifeln darüber.

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Ich weiß nicht, ob das im Kontext Deiner Frage interessiert, aber es wäre viel einfacher, zunächst den ersten und letzten Bruch zusammenzufassen und die beiden mittleren Brüche.....

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es wäre viel einfacher, zunächst den ersten und letzten Bruch zusammenzufassen und die beiden mittleren Brüche.....

Stimmt. Dann ist man sofort in der letzten Zeile angekommen.

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Danke für den Hinweis!

Das war tatsächlich mein erster Gedanke, da klar war, dass es schnell unübersichtlich wird, den ich aber aufgrund mangelnder Übung nicht hinbekommen habe.

Hier mein neuer Versuch:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}-\frac{(a+1)+(a-1)}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}+\frac{-1 \times((a+1)+(a-1))}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{(-a-1)-(-a+1)}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-2\right)}+\frac{-a-1+a-1}{4} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{-2}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}-4\right)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4 a^{2}-4-2 a^{2}+8}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}+1\right)} \\ \frac{2 a^{2}+4}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}+1\right)} \\\end{array} \)

Wäre der Lösungsweg in Ordnung, oder hab ich mir etwas unnötig kompliziert gemacht?

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Der 2. Bruch hat (-2) statt 2

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@Mathhilf, stimmt ist mir gerade nach dem Abschicken aufgefallen. Habe es korrigiert :)

Scheinbar ist der Nenner aus der fünften Zeile verschwunden.

Hier nochmal:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}-\frac{(a+1)+(a-1)}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}+\frac{-1 \times((a+1)+(a-1))}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{(-a-1)-(-a+1)}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-2\right)}+\frac{-a-1+a-1}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{-2}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}-4\right)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4 a^{2}-4-2 a^{2}+8}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}+1\right)} \\ \frac{2 a^{2}+4}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}+1\right)} \\\end{array} \)

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Warum (a^2+1) am Ende ?

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Tatsache, da hab ich mich auch vertippt. Soll in beiden Fällen ein Minus sein.

Danke!

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}-\frac{(a+1)+(a-1)}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{(a+2)-(a-2)}{(a-2)(a+2)}+\frac{-1 \times((a+1)+(a-1))}{(a-1)(a+1)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{(-a-1)-(-a+1)}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-2\right)}+\frac{-a-1+a-1}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4}{\left(a^{2}-4\right)}+\frac{-2}{\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4\left(a^{2}-1\right)-2\left(a^{2}-4\right)}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{4 a^{2}-4-2 a^{2}+8}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\ \frac{2 a^{2}+4}{\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}-1\right)} \\\end{array} \)

Answer 2

In der 2. Zeile im Zähler stehen ja 4 Summanden wobei

der 1. und der 4. negatives Vorzeichen haben.

Der 1. und der 4. enthalten beide den Faktor (a^2 -1), der wurde ausgeklammert,

so entsteht die erste eckige Klammer.

Der 2. und 3. enthalten beide (a^2-4), deshalb wurde der ausgeklammert und

es entstand die 2. eckige Klammer.

Comments

Super, vielen Dank für die schnelle Erklärung :)