Definitheit einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Definitheitseigenschaft folgender Matrix A=\( \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz: Bin mir nicht sicher ob meine Lösung richtig ist...

Mein Rechenweg wäre A₁= a und A₂= (a*1)-(1*1) = a-1

Also wäre die Matrix Indefinit ?

Comments

Mache eine Fallunterscheidung für die Werte, welche \(a\) annehmen kann.

Answer 1

Alternativ zum Vorschlag von Liszt:

Die Matrix heiße \(A\). Dann haben wir

\(f(x,y)=(x,y)A(x,y)^T=ax^2+2xy+y^2=(a-1)x^2+(x+y)^2\).

Ist also \(a>1\), so ist \(f(x,y)\geq 0\) und \(f(x,y)=0\Rightarrow x=y=0\),

d.h. für \(a>1\) ist \(A\) positiv definit.

Im Falle \(a=1\) ist zwar \(f(x,y)\geq 0\), aber z.B.

ist \(f(1,-1)=0\), d.h. \(A\) ist positiv semidefinit.

Ist \(a\lt 1\), so ist \(A\) offenbar indefinit.