Berechnen sie ∫1/x*log(x)

Question

Aufgabe:

Berechnen sie:

∫1/x*log(x) dx für x>1

Problem/Ansatz:

Ich weiß aufjedenfall das man das mit der Substitution löst, jedoch verwirren mich die Formel etwas. Auf YouTube kenne ich die formel f(g(x))*g'(x), jedoch weiß ich irgendwie nicht was was ist. Kann mir jemand das ausführlich bzw Schritt für Schritt erklären?

Comments

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

PS: Was steht im Nenner?

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Im nenner steht xlog(x)

Answer 1

Im Nenner steht x*log(x)

Text erkannt:

\( \int \frac{1}{x \cdot \ln x} \cdot d x \)
Substitution:
\( \ln x=u \rightarrow \rightarrow e^{\ln x}=e^{u} \rightarrow \rightarrow x=e^{u} \rightarrow \rightarrow d x=e^{u} \cdot d u \) \( \int \frac{1}{e^{u} \cdot u} \cdot e^{u} \cdot d u=\int \frac{1}{u} \cdot d u=\ln u \)
Re-Substitution:
\( \int \frac{1}{x \cdot \ln x} \cdot d x=\ln (\ln x)+C \)

Answer 2

Wenn du eine beliebige Funktion quadrierst und das Ergebnis ableitest, sieht das so aus:

f(x)=(u(x))²

f'(x)=2*u(x)u'(x)

Mit dem Faktor 0,5 davor wird

f(x)=0,5(u(x))²

zu f'(x)=u(x)u'(x).

Umgekehrt bist also

F(x)=0,5(u(x))² eine Stammfunktion von f(x)=u(x)u'(x).

Im Produkt (ln x) * (1/x) hast du AUCH das Produkt einer Funktion mit ihrer Ableitung.

Eine Stammfunktion ist somit 0,5*(ln x)².

PS: Wenn x mit im Nenner steht, gilt das nicht.

Answer 3

Aloha :)

Das ist ein Standard-Integral der Form:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$Daher brauchst du hier nichts zu rechnen:$$\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}\,dx=\int\frac{\frac1x}{\ln(x)}\,dx=\ln\left|\ln(x)\right|+\text{const}$$