Welchen Bruchteil der Fläche von ABCD bedeckt das graue Quadrat?

Question

Die Seiten des Quadrats ABCD sind durch die Punkte E, F, G, H, I, J, K und L im Verhältnis 1:2:2 geteilt:

EJ, FI, GL und HK schließen ein Quadrat ein (grau unterlegt). Welchen Bruchteil der Fläche von ABCD bedeckt das graue Quadrat?

Answer 1

FIJE ist ein Parallelogramm mit der Fläche 10 FE.

|FI| =√26   Mit 10 = h*√26  ergibt sich h=10/√26

==>  Quadratfläche 100/26 = 50/13 .

Das ganze Quadrat hat 25 FE, also Anteil des grauen

(50/13) / 25 = 2/13 ≈ 15,4%.

Answer 2

Mache eine Parkettierung:

Comments

Schöner Ansatz, die Vervierfachung wäre aber gar nicht nötig gewesen.

Wenn man gezeigt hat, dass die rot markierte Strecke genau dem Rastermass des Gitters entspricht, kann man die Quadrate zählen.

Jeweils zwei der grünen Dreiecke addieren sich zu 5 Quadraten. Macht zusammen$$2\cdot 5 + 4^2 = 26$$Quadrate. Und das graue Quadrat beansprucht davon vier:$$F=4 \cdot \frac 1{26}=\frac{2}{13}$$

Answer 3

Ich stelle mir die Liniie EJ um eine Einheit nach
oben verschoben vor.
Es ergibt sich ein Dreieck mit den Katheten
7 und 1
Pythagoras
7^2 + ^1^2 = Hypthenuse
c ^2 = 50
c =7.071

Strahlensatz

7 / 2 = 7.071 / x
x = 2.02

Quadrat x^2 = 2.02 ^2

Comments

1. Was ist das: 7² + ¹^2?

2. c ² = 50; c =5·√2. Was ist c?

3. Was ist x?

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7 ist die Kantenlänge des äußeren
Quadrats

Wenn ich die Strecken DE und CJ
um 1 nach oben verschiebe
bleibt für cd = 0 und CJ = 1
übrig.
An der Länge der Strecke EJ ändert sich
nichts.

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
mit den Katheten 7^2 + 1^2
Ausrechnung der Hypotenuse
c = 7.071
Die mitteleren Teilstrecken sind
Kathete = 2
im grauen Quadrat x

7 zu 7.071 = 2 zu x

---

7 ist die Kantenlänge des äußeren Quadrats.

1+2+2=5 oder ?????

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Da hast du recht.

Ich stelle mir die Liniie EJ um eine Einheit nach
oben verschoben vor.
Es ergibt sich ein Dreieck mit den Katheten
5 und 1
Pythagoras
5^2 + 1^2 = Hypthenuse
c ^2 = 26
c = 5.099

Strahlensatz

5 / 2 = 5.099 / x
x = 2.0396

Quadrat x^2 = 2.0396 ^2

---

Warum schreibst du:

c ² = 26
c = 5.099
Strahlensatz
5 / 2 = 5.099 / x
x = 2.0396
Quadrat x² = 2.0396 2

und nicht:

c ² = 26
c = \( \sqrt{26} \)
Strahlensatz
5 / 2 = √26 / x
x =2/5·√26
Quadrat x² = 4/25·26=4,16

Was soll jetzt x sein????

Wie lautet die Antwort auf meine Frage?

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x = 2.0396

ohne jede Rechnung kann man das \(x\) auch schätzen:

ich schätze die Länge von \(x\) auf etwas weniger als \(2\), wenn \(|BC|=5\) sein soll.

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Georg hat die Bezeichnung x für eine bestimmte Streckenlänge eingeführt.
Warum bezeichnest du jetzt eine andere Streckenlänge mit dem gleichen Buchstaben ? Das führt am Ende wieder zu Verwirrung.

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Hier meine zugegebender Maßen
etwas unordentliche Skizze.

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Georg hat die Bezeichnung x für eine bestimmte Streckenlänge eingeführt.

dann sollte Georg vielleicht drauf hinweisen, was \(x\) ist. Zumal es sich ja augenscheinlich bei \(x^2\) um sowas wie ein Ergebnis handelt ;-)

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Dein berechnetes x ist größer als die gesuchte Quadratseite s, weil das rechte Dreieck größer ist als das linke.

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Dös hab´ I auf vlelfachen Wunsch
nachg´holt.

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@Georg: Ich habe völlig aus dem Blick verloren, wie groß die Seitenlänge des grauen Quadrates deiner Meinung nach sein soll.

Kannst du die noch einmal nennen? Oder sogar noch einmal herleiten?

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Ich gehe von meiner Skizze aus.
Die Seitenlänge des äußeren Quadrats
ist ; 2 + 2 + 1 = 5 Längeneinheiten.
Das mittlere Teilstück ist 2 Längenein-
heiten
Die Strecke EJ wird um eine Einheit nach
oben parallel verschoben

Es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck
mit den Katheten 5 ( oben ) und 1
( rechts ).
Den Buchstaben c für die Hypotenuse
habe ich zu Ehren von Pythagoras
gewählt.

c^2 = 5^2 + 1^2 = 26
c = √ 26 = 5.099

x ist das mittlere Teilstück auf " c "
( sihe Skizze )

Es werden nun die Strahlensätze
angewandt

5 zu 5.099 = 2 zu x

x = 2.0396

Das kleine Quadrat ist x * x
oder 4.16 Flächeneinheiten

4.16 / 25 = 0.1664

Das graue innere Quadrat ist
16.64 % FE der Fläche des äußeren Quadrats.

Wenn du etws verwirrt bist mach eine
Pause. Manchmal darf man auch
nicht mit dem Kopf durch die Wand
wollen.

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Warum ist bei dir im rechtwinkligen Dreieck LSK eine Kathete länger, als die Hypotenuse?

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Ich habe die Sache nochmals bedacht
und sehe die Sache wie folgt

a.) Anfangszustand
b.)  Die Hypotenuse wird 1 Einheit nach oben geschoben
der Winkel 1/5 beträgt 11.31 °
c.) cos ( 11.31) = x /2
x = 1.961 LE

x^2 = 3.846 FE

3.846 / 25 = 0.1538

Verhältnis inneres Quadrat zu Ausgangsquadrat 15.38 %

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In der Kürze liegt die Würze

Neigung der Strecke EJ = Oberkante
inneres Quadrat
1 zu 5 = 11.31 °

Länge mIttleres oberes Feld = 2

cos ( 11.31 ) =
Länge Oberkante inneres Quadrat / 2

Länge Oberkante inneres Quadrat
= 1.961 LE