Aloha :)
Du bist mit der Wahl der partiellen Integration als Integrationsmethode auf dem richigen Weg, hast dich aber etwas verlaufen:$$I\coloneqq\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\underbrace{x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(1+x^2)}_{=v}\,dx=\left[\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(1+x^2)}_{=v}\right]_0^{\sqrt{e-1}}\!\!\!\!\!-\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{2x}{1+x^2}}_{=v'}\,dx$$Bei der Ableitung der Logarithmus-Funktion wurde die Kettenregel verwendet:$$\left(\ln(1+x^2)\right)'=\underbrace{\frac{1}{1+x^2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(1+x^2)'}_{\text{innere Abl.}}=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x$$
Den Teil in eckigen Klammern können wir direkt ausrechnen:$$\left[\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(1+x^2)}_{=v}\right]_0^{\sqrt{e-1}}\!\!\!\!\!\!=\frac{e-1}{2}\cdot\ln(1+e-1)=\frac{e-1}{2}\cdot1=\frac{e-1}{2}$$
Damit sieht das gesuchte Integral \(I\) nun so aus:$$I=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac{x^2}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac{x^3}{1+x^2}\,dx$$$$\phantom{I}=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac{\overbrace{(x+x^3)-x}^{=x^3}}{1+x^2}\,dx=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\left(\frac{x+x^3}{1+x^2}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx$$$$\phantom{I}=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\left(x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx=\frac{e-1}{2}-\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}x\,dx+\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac{x}{1+x^2}\,dx$$$$\phantom{I}=\frac{e-1}{2}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{e-1}}+\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac12\cdot\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\frac{e-1}{2}-\frac{e-1}{2}+\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}\frac12\cdot\frac{2x}{1+x^2}\,dx$$
Bis auf das letzte Integral heben sich die übrigen Terme gegenseitig weg. Das Integral selbst ist von einer besonderen Form, weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Für solche Integrale gilt:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$$Unter Beachtung des Faktors \(\frac12\) sind wir dann fertig:$$I=\left[\frac12\ln\left|1+x^2\right|\right]_0^{\sqrt{e-1}}=\frac12\ln|1+e-1|-\frac12\ln|1+0|=\frac12$$
