Zeigen Sie, dass \int_{a}^{b} f(x) dx > 0 ist.

Question

Aufgabe:

Sei f: [a,b] →ℝ stetig und f ≥ 0. Sei weiter x0 ∈ (a,b) mit f(x0) > 0. Zeigen Sie, dass \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) dx > 0 ist.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen wirklichen Ansatz wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Answer 1

Sei \(c=f(x_0)> 0\), dann folgt wegen der Stetigkeit

von \(f\), dass \(f(x)> c/2\) für \(x\in [x_0-\delta, x_0+\delta]\)

für ein \(\delta > 0\). Damit ist \(\int_a^b f(x) \geq c\cdot \delta>0\)

wegen der Monotonie des Integrals.