Matrize A^n, wie erhalte ich die mit "?" markierte Zelle?

Question

Text erkannt:

\( A^{3}=\left(\begin{array}{ccc}x^{3} & 3 x^{2} & 3 x \\ 0 & x^{3} & 3 x^{2} \\ 0 & 0 & x^{3}\end{array}\right) \)
\( A^{4}=\left(\begin{array}{ccc}x^{4} & 4 x^{3} & 6 x^{2} \\ 0 & x^{4} & 4 x^{3} \\ 0 & 0 & x^{4}\end{array}\right) \)
\( A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}x^{n} & n \cdot x^{n-1} & 3 x^{2} \\ 0 & x^{n} & n \cdot x^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n}\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \left\{\begin{array}{l}A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}x^{n} & n \cdot x^{n-1} & 2 \\ 0 & x^{n} & n \cdot x^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n}\end{array}\right) \\ 2=x^{n-1} \cdot 0+(n-1) \cdot x^{n-2} \cdot 1+(2) \cdot x^{n-2}\end{array}\right. \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} 4.2 \\ A=\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{array}\right) \\ A^{2}=\left(\begin{array}{ccc} x^{2} & 2 x & 1 \\ 0 & x^{2} & 2 x \\ 0 & 0 & x^{2} \end{array}\right) \\ A^{3}=\left(\begin{array}{ccc} x^{3} & 3 x^{2} & 3 x \\ 0 & x^{3} & 3 x^{2} \\ 0 & 0 & x^{3} \end{array}\right) \\ A^{4}=\left(\begin{array}{ccc} x^{4} & 4 x^{3} & 6 x^{2} \\ 0 & x^{4} & 4 x^{3} \\ 0 & 0 & x^{4} \end{array}\right) \\ A^{n}=\left(\begin{array}{ccc} x^{n} & n \cdot x^{n-1} & 2 \\ 0 & x^{n} & n \cdot x^{n-1} \\ 0 & 0 & x^{n} \end{array}\right) \\ \end{array} \)
\( 2=x^{n-1} \cdot 0+(n-1) \cdot x^{n-2} \cdot 1+(?) \cdot x^{n-2} \)
CO REDMI NOTE 8 CO AI QUAD CAMERA

Ich habe wirklich keinen Anhaltspunkt außer die letzte Zeile. Die Zelle ? bereitet mir große Schwierigkeiten.

Aufgabe:

Answer 1

Ich definiere$$N=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\text{ und damit } N^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$Dann ist \(A=xE_3+N\).

Für \(n\geq 2\) gilt daher nach dem binomischen Satz

\(A^n=(xE_3+N)^n=x^nE_3+nx^{n-1}N+{n \choose 2}x^{n-2}N^2\), da \(N^k=0\) für \(k>2\).

Answer 2

Bei der letzten Zeile kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, woher der letzte Summand kommt. Schließlich ist "?" bei \(A_{n-1}\) ein anderes als bei \(A_n\).

Wie man die Aufgabe angehen könnte, wäre zum Beispiel nur die erste Zeile zu berechnen (damit es schneller geht), dann erhalten wir im rechten oberen Eintrag für \(A^5, A^6, \ldots\): \(10x^3, 15x^4, 21x^5,\ldots\)

Wenn man jetzt die Differenzen der Koeffizienten vergleicht (das kann häufig helfen), fällt auf, dass diese einfach die natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge sind:

\(1-0=0, 3-1=2, 6-3=3, 10-6=4, 15-10=5, 21-15=6, \ldots\)

Scheinbar haben wir im oberen rechten Eintrag von \(A^n\) also als Koeffizient einfach die Summe der ersten \(n-1\) ersten natürlichen Zahlen. Mit der Gauß'schen Summenformel erhalten wir also \(\frac{(n-1)(n)}{2}x^{n-2}\).

Das gilt es nun mit Induktion zu überprüfen, was eigentlich einfach nachrechnen ist. (Eigentlich ähnlich wie die letzte Zeile, aber falls es hierzu Fragen gibt, gerne einfach einen Kommentar schreiben! Ich finde, dass bei der Induktion dann auch richtig klar wird, weshalb obiges Ergebnis gilt.)

Der Trick ist aber letztendlich wirklich einfach ein paar mehr Fälle auszurechnen und versuchen, die Folge zu erkennen. :)

Answer 3

Hallo :-)

Wenn du dir mal die Matrixmultiplikation genau anschaust, dann kann man daraus die gaußsche Summenformel erraten.

Ich mache das mal schematisch für deinen noch unklaren Matrixeintrag deutlich:

\(A^1\): \(0\)

\(A^2\): \(x\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot x=0+1+0=1\)

\(A^3\): \(x\cdot 1+1\cdot 2x+0\cdot x^2=x+2x+0=3x\)

\(A^4\): \(x\cdot 3x+1\cdot 3x^2+0\cdot x^3=3x^2+3x^2+0=6x^2\)

\(A^5\): \(x\cdot 6x^2+1\cdot 4x^3+0\cdot x^4=6x^3+4x^3+0=10x^3\)

Induktiv kommt man also auf folgende Beschreibung: $$ \frac{n\cdot (n-1)}{2} \cdot x^{n-2} $$