Den Rang einer Matrize bestimmen?

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme und mir bleibt leider nicht viel Zeit diese zu lösen (Und die Aufgabe ist leider ziemlich wichtig!).

Seien $$a,b,c \in \mathbb{R^{n,1}} (n \in \mathbb{N})$$.

1.) Bestimmen Sie $$ Rang (ba^{T})$$.

2.) Sei nun $$M(a,b) := ba^{T} - ab^{T}.$$ zu zeigen ist das folgendes gilt:

a.) $$M(a,b) = - M(a,b)$$

b.) $$M(a,b)c + M(b,c)a + M(c,a)b = 0$$

c.) $$M(\lambda a + \mu b,c) = \lambda M(a,c) + \mu M(b,c) für \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$

Mir ist klar, dass es zu viel verlangt ist nach kompletten Lösungen für diese Aufgabe zu fragen und das ist auch nicht zwingend meine Absicht. Ich würde mich über jeden Hinweis und Tipp freuen der mir irgendwie einen Ansatz liefert. Bei c.) bin ich mir zum Beispiel relativ sicher das man das direkt beweisen kann, indem man das gegebene  umschreibt aber ich weiß leider nicht wie, da ich große Probleme mit dem Thema Ränge habe. (Hier ein Beispiel, damit genau ersichtlich wird was ich meine: Polynome kann man ja auch in die Summenschreibweise umschreiben).

MfG EC.

Answer 1

1.   Die Matrix   b*a^T  hat als Zeilen immer Vielfache von a^T.

Diese sind also alle linear abhängig oder sogar gleich 0.

Der Rang ist also 1 oder 0.

2. a)  Kann es sein, dass du dich hier vertippt hast:

                und es M(b,a) heißen soll ?

      denn es ist  M(b,a) = a*b^T - b*a^T  =  -  ( b*a^T - a*b^T) = - M (a,b).

b) ist schon was mehr Schreibarbeit:

Das ist ja eine Summe von drei Vektoren; denn z.B. die Matrix M(a,b) mal den

Vektor ( 1-spaltige Matrix) c ergibt wieder eine einspaltige Matrix.

Deren i-te Komponente ist

$$\sum_{k=1}^{n}{(a_{k}*b_{i}  -a_{i}*b_{k})*c_{k}}$$

wenn du das auf die anderen beiden überträgst und die drei

in einer Summe zusammenfasst und die Klammern auflöst, hast du

unter dem Summenzeichen 6 Summanden, von denen sich je

zwei aufheben ( wegen plus und minus). So bekommst du

eine Summe, in der alle Summanden 0 sind, also Ergebnis 0.

Comments

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Also auf dem Aufgabenblatt steht M(a,b) = -M(b,a). Vielleicht ist das ein Tippfehler, oder beabsichtigt so nach dem Motto das man begründen soll wieso man die Aufgabe nicht lösen kann.

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Also auf dem Aufgabenblatt steht M(a,b) = -M(b,a). Vielleicht ist das ein Tippfehler, oder beabsichtigt so nach dem Motto das man begründen soll wieso man die Aufgabe nicht lösen kann.

Glaube ich nicht. Es war dann ein Tippfehler deinerseits in der Aufgabenstellung hier.

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Wieso ist das ein Tippfehler meinerseits? Ich habe die Aufgabe ja nicht entworfen...

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Du hast 2a falsch abgetippt !

M(a,b) = -M(a,b)      statt     M(a,b) = -M(b,a).