Wie bestimmt man rang(A) und rang(A|b)? Aufgabe (b). Bei (a) : det (A) habe ich a^2 + 2.

Question

würde bitte bei folgendem Bsp Hilfe benötigen.

Punkt a.) habe ich gelöst mit det(A) = a^2 + 2

aber bei Punkt b.) bin ich im Moment grad sehr hilflos, kann mir bitte jemand weiterhelfen?

 kann mir jemand erklären wie man rang(A) und rang(A|b) bestimmt?

Comments

Bringe die beiden Matrizen auf Zeilenstufenform.

Vorgerechnetes Beispiel: 

https://www.mathelounge.de/9028/brauchte-hilfe-zeilenrang-spaltenrang-matrix-jemand-helfen 

Nun zählst du die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen. 

Mit Rang(A|b) ist gemeint Rang(Matrix links von Gleichung | Vektor rechts der Gleichung)

Also nicht nur den Parameter b ergänzen sondern den ganzen Vektor rechts. 

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Alternative: (a) verwenden und folgern, dass rang(A) = 3. Automatisch folgt rang(A|b) = 3

Answer 1

A|b =

a      1      1       1
2      1     -2       0
0      1     a        b

1. Fall:
Für a=0 ist es 

0      1      1       1
2      1     -2       0
0      1      0      b


Jetzt Stufenform herstellen,


etwa 2. Zeile mit erster tauschen

2      1     -2       0
0      1      1       1
0      1      0      b 

Dann 3. Zeile minus 2.

2      1     -2       0
0      1      1       1
0      0      -1     b-1

Hier sieht man:   Rg(A) = 3 und
Rg(A|b ) = 3, egal was b ist. 

Für a≠0
a      1      1       1
2      1     -2       0
0      1     a        b

2. Zeile * a - 1. Zeile * 2

a      1              1       1
0      a-2     -2a-1       -2
0      1              a        b


und noch 2. und 3. tauschen

a      1              1       1
0      1              a        b
0      a-2     -2a-1       -2

Dann sieht man:  Falls a=2, dann ist jedenfalls 
  Rg(A) = 3 und
Rg(A|b ) = 3, egal was b ist. 

Für a≠2 weiter umformen:

3. Zeile -  2. Zeile * (a-2)

a      1              1              1
0      1              a              b
0      0          - (1+a²)       -2-b(a-2)

Also wieder Rang(A) = 3  und
Rg(A|b ) = 3, egal was b ist.  
 Da     - (1+a²)  niemals gleich 0 ist.

Das Ergebnis für Rg(A) passt auch zu deiner
Determinante, denn  die ist  ja nie 0.