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Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung
φ: KN×N → KN×N , A ↦1/2(A + AT),
den Untervektorraum KN×Nsym = {A ∈ KN×N : A = AT} der symmetrischen
und KN×Nanti = {A ∈ KN×N : A = −AT} der antisymmetrischen Matrizen.

a) Zeigen Sie, dass fur alle Matrizen ¨ A ∈ KN×N die Matrix A+AT symmetrisch ist

b) Zeigen Sie, dass die Abbildung φ linear ist.

c) Bestimmen Sie Bild, Kern, Defekt und Rang von φ.

d) Zeigen Sie KN×N = KN×Nsym ⊕ KN×Nanti

Problem/Ansatz:

Ich habe kein Plan wie ich diese Frage beantworten/herangehen soll. Falls iwer so gnädig wäre und hier die Lösungen oder Tipps oder sonst was schickt, wäre ich unendlich dankbar.

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1 Antwort

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Auch hier nur mal (a) Den Rest schaffst Du alleine oder zeige Deine Rechenwege

$$ (A + A^T) ^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A $$ also ist \( A+A^T \) symmetrisch.

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