Berechnen Sie: \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} y dy dx

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie: \( \int\limits_{0}^{2} \) \( \int\limits_{0}^{2-x} \) y dy dx

Problem/Ansatz:

\( \int\limits_{0}^{2} \) [\( \frac{1}{2} \) y² ] (unten 0, oben 2-x) dx =   \( \int\limits_{0}^{2} \) [\( \frac{1}{2} \) (1/2 * (2-x)²)dx

= [ 1/3 * 1/2 * (2-x)³ -1] unten grenze 0, oben 2 (Habe ich vor allem hier richtig integriert? Exponent um 1 erhöhen, 1/exp vor die klammer, dann multiplizieren mit der Ableitung nach x der inneren klammer, also -1?) = 8/6 ?

Answer 1

Aloha :)

Bei diesem Integral kommt es auf die Integrationsreihenfolge an. Die obere Grenze des \(y\)-Intervalls ist \((2-x)\) und hängt daher von \(x\) ab. Daher musst du zuerst über \(dy\) bei festgehaltenem \(x\) integrieren. Anschließend integrierst du dann über \(dx\).

$$I=\int\limits_{x=0}^2\;\int\limits_{y=0}^{2-x}y\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{2-x}dx=\int\limits_{x=0}^2\frac{(2-x)^2}{2}\,dx=\left[\frac{(2-x)^3}{-6}\right]_{x=0}^2$$$$\phantom I=\frac16\left[(x-2)^3\right]_{x=0}^2=\frac16\left(0^3-(-2)^3\right)=\frac86=\frac43$$

Comments

Dein Ergebnis stimmt mit meinem überein, also habe ich es wohl richtig gemacht.

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Du hast einen Faktor \(\frac12\) zu viel im letzten Integral. Da dein Ergebnis aber stimmt, ist das vermutlich beim Eintippen passiert.

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Hier besteht beim Integrieren von \( \frac{(2-x)^2}{2} \) nach x folgende Regel, oder?

Exponent der Klammer um 1 erhöhen, 1/neuen Exponent vor die Klammer, und dann multipliziert mit der Ableitung nach x, der inneren Klammer.

Dann hätte ich 1/2 * (2-x)^3 * 1/3 * -1 = = \( \frac{(2-x)^3}{-6} \)

das heißt, bei den Integralregeln wird nicht immer nur integriert, sondern auch mal abgeleitet, je nach Fall.