Ableitung von Exponentialfunktion vereinfachen

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung

1)  e^x= 2

2)  e^0,5=3

(Könnt ihr das Ergebnis dieser Aufgabe und den Weg zum Ergebnis erklären? Danke)

Answer 1

Es gilt

(1)        \(\ln \left(\mathrm{e}^x\right) = x\)

für jedes reelle Zahl \(x\).

Die Funktion \(\ln\) heißt natürlicher Logarithmus. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

e^x= 2

Auf beiden Seiten \(\ln\) anwenden ergibt

        \(\ln \left(\mathrm{e}^x\right) = \ln \left(2\right)\).

Wegen (1) lässt sich die linke Seite dieser Gleichung vereinfachen zu \(x\). Also ist

\(x = \ln \left(2\right)\).

e^0,5=3

Diese Gleichung ist ungültig.

Comments

Dankeschön. Darf ich fragen, warum sie als ungültig gilt?

---

Es gilt \(\mathrm{e} < 3\). Also ist auch \(\mathrm{e}^{0,5} = \sqrt{\mathrm{e}} < 3\)

Somit steht auf der linken Seite der Gleichung \(\mathrm{e}^{0,5}=3\) ein anderer Wert als auf der rechten Seite.

Gleichungen bei denen auf der einen Seite ein anderer Wert als auf der anderen Seite steht nennt man ungültig.

Answer 2

Frage
Ableitung von Exponentialfunktionen vereinfachen
Was hat das mit den Aufgaben zu tun ?

1)  e^x= 2  | ln
ln(e^x) = ln(2)
x = ln(2);

2)  e^0,5 = 3
1.649 = 3
falsch

Answer 3

Heißt die Aufgabe womöglich \( e^{0,5x} \)=3?

0,5x*ln e=ln 3      ln e=1

0,5x=ln 3 

x=\( \frac{ln 3}{0,5} \)  = 2ln 3