Umfang und den Flächeninhalt vom Viereck berechnen

Question

Aufgabe:

Ein Viereck hat die Eckpunkte A(1|1), B (5|2), C (4|4), D(2|5).

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt vom Viereck.

Problem/Ansatz:

Weis nicht wie ich die Längen von a,b,c und d berechnen soll

Answer 1

Pythagoras im Steigungsdreieck für a:

a=√((4cm)^2+(1cm)^2)=√17  cm  a=√((4cm)^2+(1cm)^2)=√17  cm

b=√((2cm)^2+(1cm)^2)=√5  cm  etc.

Für die Fläche ergänze die Punkte

S(5;1) und T(5;4) und U(4;5) und V(1;5) .

Berechne die Fläche von ASTCUVA und zieh die

ergänzten Dreiecke wieder ab.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Von \(A(1|1)\) zu \(B(5|2)\) gehst du \(4\) Einheiten nach rechts und \(1\) nach oben: \(\vec a=\binom{4}{1}\)

Von \(B(5|2)\) zu \(C(4|4)\) gehst du \(1\) Einheiten nach links und \(2\) nach oben: \(\vec b=\binom{-1}{2}\)

Von \(C(4|4)\) zu \(D(2|5)\) gehst du \(2\) Einheiten nach links und \(1\) nach oben: \(\vec c=\binom{-2}{1}\)

Von \(D(2|5)\) zu \(A(1|1)\) gehst du \(1\) Einheiten nach links und \(4\) nach unten: \(\vec d=\binom{-1}{-4}\)

Die Längen der Strecken ergeben sich mit Pythagoras:$$a=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$$$$b=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$$$$c=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}$$$$d=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$$Der Umfang des Vierecks beträgt daher:$$U=2\cdot\sqrt{17}+2\sqrt{5}\approx12,7163$$

Sicherlich ist dir durch die Rechnung bereits aufgefallen, dass die Figur symmetrisch zur Achse durch die Punkte \(A\) und \(C\) ist. Daher ist die Fläche des Vierecks doppelt so groß wie die Fläche des Dreiecks ABC. Die Fläche des Dreiecks ABC ist halb so groß wie die Fläche des Parallelogramms, das durch die Seiten \(a\) und \(b\) aufgespannt wird. Mit anderen Worten, die Fläche des Vierecks ist gleich der Fläche des von \(a\) und \(b\) aufgespannten Parallelogramms:$$F=\left|\begin{array}{rr}4 & -1\\1 & 2\end{array}\right|=4\cdot2-1\cdot(-1)=9$$