Zeigen Sie, dass 3=(3+0* √{-2}) in ℤ[ √{-2} ] reduzibel ist.

Question

Zeigen Sie, dass 3=(3+0*\( \sqrt{-2} \) in ℤ[\( \sqrt{-2} \)] reduzibel ist.

Comments

Betrachte 1±√-2

Answer 1

Man kann ja testweise \(a+b\sqrt{-2}\) suchen mit Norm 3,

also \(a^2+2b^2=3\). Fallen dir da geeignete \(a\) und \(b\) ein?

Dann hätte man eine Zerlegung

\(3=(a+b\sqrt{-2})(a-b\sqrt{-2})\).

Man muss dann schauen, ob einer der Faktoren vielleicht

eine Einheit ist. Dann wäre das ja keine "echte" Zerlegung.

Comments

ja, für a = ±1 und b = ±1

Answer 2

(1+1*\( \sqrt{-2} \))*(1-1*\( \sqrt{-2} \)) = 3