Wäre \(p=\alpha\cdot \beta\) mit Nichteinheiten \(\alpha,\beta\),
dann wäre \(p^2=N(p)=N(\alpha)\cdot N(\beta)\) mit
\(N(\alpha),N(\beta)\neq1\).
Wegen der eindeutigen Primzahlzerlegung in \(\mathbb{Z}\)
und \(N(\alpha),N(\beta)>0\) muss dann \(N(\alpha)=p\) sein.
Mit \(\alpha=x+iy\) ergibt dies \(x^2+y^2=p\equiv 3\) mod 4.
Da die einzigen Quadrate mod 4 die 0 und die 1 sind,
ist das unmöglich, Widerspruch!