Sei p ∈ ℕ eine Primzahl, und es gelte p ≡ 3 modulo 4. Zeigen Sie, dass p irreduzibel im Ring ℤ[i] ist.

Question

Sei ℤ[i] ein Ring und N die euklidische Normfunktion.

Sei p ∈ ℕ eine Primzahl, und es gelte p ≡ 3 modulo 4. Zeigen Sie, dass p irreduzibel im Ring ℤ[i] ist.

Ich bräuchte auch hier Hilfe bei dem Beweis. Danke schon mal im voraus. :)

Answer 1

Wäre \(p=\alpha\cdot \beta\) mit Nichteinheiten \(\alpha,\beta\),

dann wäre \(p^2=N(p)=N(\alpha)\cdot N(\beta)\) mit

\(N(\alpha),N(\beta)\neq1\).

Wegen der eindeutigen Primzahlzerlegung in \(\mathbb{Z}\)

und \(N(\alpha),N(\beta)>0\) muss dann \(N(\alpha)=p\) sein.

Mit \(\alpha=x+iy\) ergibt dies \(x^2+y^2=p\equiv 3\) mod 4.

Da die einzigen Quadrate mod 4 die 0 und die 1 sind,

ist das unmöglich, Widerspruch!

Answer 2

Um zu zeigen, dass p irreduzibel im Ring ℤ[i] ist, müssen wir zeigen, dass p keine nicht-trivialen Teiler im Ring ℤ[i] hat. Wir können das beweisen, indem wir zeigen, dass jeder nicht-triviale Teiler von p eine Einheit im Ring ℤ[i] ist.

Sei q ein nicht-trivialer Teiler von p. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

q ist eine Einheit im Ring ℤ[i]. In diesem Fall ist q bereits eine Einheit im Ring ℤ[i], und es gibt nichts weiter zu zeigen.

q ist keine Einheit im Ring ℤ[i]. In diesem Fall gibt es x, y ∈ ℤ[i] mit xq + yp = 1. Wir können diese Gleichung als xq = 1 - yp schreiben.

Da p ≡ 3 modulo 4 ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

p = 4n + 3 für irgendein n ∈ ℤ. In diesem Fall ist yp = 4m + 3 für irgendein m ∈ ℤ. Wir können xq = 1 - (4m + 3) schreiben. Da 1 - (4m + 3) keine Einheit im Ring ℤ[i] ist, ist xq keine Einheit im Ring ℤ[i]. Da q aber eine Einheit im Ring ℤ[i] sein muss, um ein Teiler von p im Ring ℤ[i] zu sein, ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.

p = 4n - 3 für irgendein n ∈ ℤ. In diesem Fall ist yp = 4m - 3 für irgendein m ∈ ℤ. Wir können xq = 1 - (4m - 3) schreiben. Da 1 - (4m - 3) keine Einheit im Ring ℤ[i] ist, ist xq keine Einheit im Ring ℤ[i]. Auch in diesem Fall ist q keine Einheit im Ring ℤ[i], was bedeutet, dass q kein nicht-trivialer Teiler von p im Ring ℤ[i] sein kann.

Da wir gezeigt haben, dass jeder nicht-triviale Teiler von p im Ring ℤ[i] eine Einheit im Ring ℤ[i] ist, ist p irreduzibel im Ring ℤ[i].

Comments

Wie kann denn p = 4n - 3 für irgendein n ∈ ℤ sein, wenn p ≡ 3 modulo 4 ist?