Beweis , dass Ring (Zp,+p,*p) mit p ist Primzahl... ein Körper ist

Question

Ich habe (Zp,+p,*p) mit p ist Primzahl , sodass ein Körper mit Charakteristik p daraus entsteht . 

Das will ich beweisen . 

Ich muss zunächst zeigen , dass die Abbildung fa : Zp -> Zp , x -> x *p a   (*p  ist Multiplikation auf Zp)

injektiv und surjektiv ist . 

Das folgt hier : 

fa(x1) = fa(x2) => x1 = x2

x1 *p a = x2 *p a 

x1 *p a * a^-1 = x2 *p * a * a^-1

rp(x1) = rp(x2)  <=> x1 = x2     (rp(a) ist Rest von a durch Division durch m)

Die Abbildung ist also injektiv . 

Aussage B : Es ist ja bekannt , dass für eine endliche Menge A eine injektive Abbildung f: A -> A auch surjektiv ist .

Das könnte ich aber nicht zeigen .

 Ich zeige , dass die obige Abbildung injektiv ist , um die Surjektivität dieser zu schlussfolgern und daher wird "1" abgebildet , was die Existenz eines linksneutralen Elements von a bestätigt . Dass das neutrale Element "1" in der abelschen Gruppe (Zp,*) vorhanden ist , ist klar . Ich müsste nun noch zeigen , dass (Zp,+) abelsche Gruppe ist. Zp  nach Definition Zp := {0....p-1} . 

FRAGE : Wie kann die Bedingung -x in Zp erfüllt sein? Außerdem würde ich gerne einen Beweis für Aussage B sehen. 

Comments

ich finde deinen Beweisversuch sehr suspekt. 

1. \(f_a\) ist sicherlich nicht für jedes \(a \in \mathbb{Z}_p\) surjektiv und injektiv.

2.Verwendest du beim Beweis der Injektivität die Existenz der Inversen zu den Elementen. Wenn dies allerdings bekannt ist, wo ist dann der Sinn noch zeigen zu wollen, dass es sich um einen Körper handelt? Oder gehst du quasi aus der Menge raus und wieder in die reellen Zahlen?

Was soll -x als Bedingung sein? 

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Denn Sinn der Aufgabe kenne ich leider selbst nicht :D 

-x soll das Inverse Element in Zp bezüglich der Addition sein. Es gilt ja noch zu zeigen , dass (Zp,+) abelsche Gruppe ist .

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Wenn du schon weißt, das es ein Ring ist ,ist dies überflüßig. Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

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Ich habe ebenfalls die Aufgabe: 

Sei R ein Ring. Beweisen Sie die folgende Aussage: Falls p eine Primzahl ist, ist (Zp;+p; *p) ein Körper.

Ich muss aber sagen, dass ich da gerade völlig auf dem Schlauch stehe. Habe mir schon einige Beweise im Internt angeschaut aber dort werden immer Sachen verwendet, die wir noch nicht in der Vorlesung hatten. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und hoffe auf Verständnis. Ich bin nämlich definitiv kein Mathe-Ass :(

Answer 1

Wenn du beweisen willst, dass ein Ring ein Körper ist, dann

brauchst du nur zu zeigen, dass es ein 1-Element gibt und

zu jedem x ungleich 0 ein multiplikatives  Inverses existiert.