Ich habe (Zp,+p,*p) mit p ist Primzahl , sodass ein Körper mit Charakteristik p daraus entsteht .
Das will ich beweisen .
Ich muss zunächst zeigen , dass die Abbildung fa : Zp -> Zp , x -> x *p a (*p ist Multiplikation auf Zp)
injektiv und surjektiv ist .
Das folgt hier :
fa(x1) = fa(x2) => x1 = x2
x1 *p a = x2 *p a
x1 *p a * a^-1 = x2 *p * a * a^-1
rp(x1) = rp(x2) <=> x1 = x2 (rp(a) ist Rest von a durch Division durch m)
Die Abbildung ist also injektiv .
Aussage B : Es ist ja bekannt , dass für eine endliche Menge A eine injektive Abbildung f: A -> A auch surjektiv ist .
Das könnte ich aber nicht zeigen .
Ich zeige , dass die obige Abbildung injektiv ist , um die Surjektivität dieser zu schlussfolgern und daher wird "1" abgebildet , was die Existenz eines linksneutralen Elements von a bestätigt . Dass das neutrale Element "1" in der abelschen Gruppe (Zp,*) vorhanden ist , ist klar . Ich müsste nun noch zeigen , dass (Zp,+) abelsche Gruppe ist. Zp nach Definition Zp := {0....p-1} .
FRAGE : Wie kann die Bedingung -x in Zp erfüllt sein? Außerdem würde ich gerne einen Beweis für Aussage B sehen.