Zeigen Sie: Genau dann ist die Restklasse -1 ein Quadrat in Zp, wenn p mit Rest 1 durch 4 teilbar ist.

Question

Hier nochmal in Ordentlich:

Sei p ∈ ℕ , p > 2 eine Primzahl. Zeigen Sie: Genau dann ist die Restklasse -1 (hier muss eigentlich ein Strich drüber) ein Quadrat in ℤ_p , wenn p ≡ 1 mod 4 ist d.h. wenn p mit Rest 1 durch 4 teilbar.

Aus meinem Script weiß ich, dass ich bei einer Primzahl der Form p = 4*k+3 die Wurzel einer Restklasse a ziehen kann in dem ich a^((p+1)/4)  mod p berechne, hierfür liegt mir auch der Beweis vor.

Weiterhin ist bekannt, dass p^((p-1)2) = -1   (mit Strich drüber) gilt. 

Ich probiere nun schon eine ganze Weile hin und her, komme allerdings auf keinen grünen Zweig. Hat jemand einen Ansatz bzw. eine Lösung für mich?

Beste Grüße

Beetroot

P.S. : Wie kann man hier Restklassen im Editor darstellen?

Comments

Für Restklassen kann man einen der LaTeX-Befehle \bar{...} oder \overline{...} benutzen, siehe https://www.matheretter.de/rechner/latex

Answer 1

Hallo,

das Euler-Kriterium besagt, dass \( a^\frac{p-1}{2} = 1 \Leftrightarrow a = x^2 \).

Wir betrachten \( a = -1 \). Da \( p \) ungerade ist, genügt es die beiden Fälle \( p = 4k + 1 \) und \( p = 4k + 3 \) zu untersuchen.

Für \( p = 4k + 1 \) ist \( a^\frac{p-1}{2} = a^{2k} = 1 \).

Für \( p = 4k + 3 \) ist \( a^\frac{p-1}{2} = a^{2k + 1} = -1 \).

Mit Hilfe des oben genannten Euler-Kriteriums erhalten wir schließlich die Einschränkung auf \( p = 4k + 1 \).

Grüße

Mister

PS: Für das Euler-Kriterium siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Symbol.