Aufgabe:
Sei \( p \neq 2,3 \) eine Primzahl, \( q=p^{n} \) für ein \( n \in \mathbb{Z} \) und \( K \) ein Körper mit \( q \) Elementen. Beweisen Sie:
(a) Falls \( q \equiv 1 \bmod 3 \), hat die Gleichung \( x^{3}=1 \) drei unterschiedlichen Lösungen in \( K \).
(b) Falls \( q \equiv 2 \bmod 3 \), ist das Polynom \( x^{2}+x+1 \in K[x] \) irreduzibel.
(c) Folgern Sie: \( -3 \in K \) ist ein Quadrat genau dann, wenn \( q \equiv 1 \bmod 3 \).
Problem/Ansatz:
Folgende Sachen hatte ich mir überlegt, wobei ich mir aber nicht ganz sicher bin:
(a) Falls \( q \equiv 1 \bmod 3 \), hat die Gleichung \( x^{3}=1 \) drei unterschiedliche Lösungen in \( K \) :
Da \( p \) eine Primzahl ist und \( q=p^{n} \), ist \( K \) ein endlicher Körper mit \( q \) Elementen. Die multiplikative Gruppe \( K^{*} \) ist zyklisch der Ordnung \( q-1 \) . Da \( q \equiv 1 \bmod 3 \), ist \( q-1 \) durch 3 teilbar.
Es gibt daher ein Element \( \alpha \) in \( K^{*} \) der Ordnung 3, das die Gleichung \( \alpha^{3}=1 \) erfüllt. Es gibt genau 3 verschiedene Lösungen für \( x \) in \( x^{3}=1 \) und diese sind \( \alpha^{0}=1, \alpha^{1} \) und \( \alpha^{2} \)
(b) Falls \( q \equiv 2 \bmod 3 \), ist das Polynom \( x^{2}+x+1 \) irreduzibel:
Angenommen, \( x^{2}+x+1 \) wäre reduzibel in \( K[x] \). Das bedeutet, es gibt Faktoren \( f(x) \) und \( g(x) \) in \( K[x] \) mit \( x^{2}+x+1=f(x) g(x) \). Da \( K \) ein endlicher Körper ist, kann \( f(x) \) und \( g(x) \) nicht konstant sein. Daher können beide höchstens Grad 1 haben.
Angenommen, \( f(x) \) hat den Grad 1, dann \( f(x)=a x+b \) für \( a, b \in K \) mit \( a \neq 0 \). Dann wäre \( g(x)=\frac{x^{2}+x+1}{f(x)} \) auch ein Polynom ersten Grades, was einen Widerspruch darstellt. Daher kann \( f(x) \) nicht Grad 1 haben, und das gleiche gilt für \( g(x) \). Das bedeutet, dass \( x^{2}+x+1 \) irreduzibel ist.
c)
Die Aussage \( -3 \in K \) ist ein Quadrat bedeutet, dass es ein \( a \in K \) gibt, so dass \( a^{2}=-3 \).
Wenn \( q \equiv 1 \bmod 3 \), haben wir in \( K \) drei Lösungen für die Gleichung \( x^{3}=1 \) (Teil (a)). Nennen wir diese Lösungen \( \alpha^{0}=1, \alpha^{1}, \alpha^{2} \). Dann ist \( \alpha^{1} \) eine Lösung für die Gleichung \( x^{2}+x+1=0 \) (Teil (b)), und \( \alpha^{1} \) ist auch eine Quadratwurzel von -3 . Daher ist -3 ein Quadrat in diesem Fall.
Wenn \( q \equiv 2 \bmod 3 \), dann hat die Gleichung \( x^{2}+x+1=0 \) keine Lösung in \( K \) (Teil (b)), und somit hat -3 keine Quadratwurzel in \( K \).
Zusammenfassend: -3 ist ein Quadrat in \( K \) genau dann, wenn \( q \equiv \) \( 1 \bmod 3 \).
