Mit Restklassenaddition, Restklassenmultiplikation zeigen ob Körper oder nicht

Question

Ich hänge gerade an 2 Aufgaben.

(b)  Zeige, dass Z / 5Z mit Restklassenaddition und -multiplikation ein Körper mit 5 Elementen ist.
(c) Weise nach, dass Z / 4Z mit Restklassenaddition bzw. -multiplikation bzgl. a = b mod 4 
     <=> 4 | a - b kein Körper ist.

Ich weiß nicht, wie ich das löse. Unser Skript ist auch was Restklassen angeht sehr dürftig. Ich weiß, dass Z / 5Z ein Körper ist, weil 5 eine Primzahl ist - habe ich irgendwo im Internet gelesen. Aber k.A. wie ich das ganze mathematisch korrekt zeige.

Answer 1

Du musst die Körperaxiome nachprüfen:

Assozziativität, Distributivität etc. gelten ja in allen Restklassenringen.

Und das es mod 5 nur 5 Restklassen gibt, ist wohl auch klar.

Für Körper brauchst du eigentlich nur noch die multiplikativen Inversen

für die von 0 verschiedenen Elemente. Diese sind

1^{-1} = 1     2^{-1} = 3    3^{-1} = 2     4^{-1} = 4

Und bei Z / 4Z hat 2 kein Inverses, also kein Körper.