Aufgabe:
Sei \( f(x)=x^{4}+x^{3}+1 \in \mathbb{F}_{2}[x] \) und \( K=\mathbb{F}_{2}[x] /(f(x)) \) der Körper aus Hausaufgabe 10.4. Sei \( \beta:= \) \( x^{3}+x+(f) \in K \) und \( L:=\mathbb{F}_{2}[\beta] \subset K \). Beweisen Sie:
(a) \( \beta^{2}=\beta+1 \), und somit ist \( L \subset K \) ein Unterkörper mit 4 Elementen: \( 0,1, \beta \) und \( \beta+1 \).
(b) \( f(x) \in \mathbb{F}_{2}[x] \subseteq L[x] \) hat keine Nullstelle in \( L \).
(c) \( f(x)=\left(x^{2}+\beta x+\beta\right)\left(x^{2}+\beta^{2} x+\beta^{2}\right) \) ist die Zerlegung in irreduziblen Faktoren in \( L[x] \).
Problem/Ansatz:
Könntet mir jemand bei diesen Aufgaben helfen, nach der Winterunterbrechung bekomme ich keine richtigen Ansätze hin
