0 Daumen
361 Aufrufe

Aufgabe:

Sei p ∈ N eine Primzahl, p ≥ 7. Zeigen Sie, dass dann p4 − 1 ohne Rest durch 240 teilbar ist in Z.


Ansatz:

(p4-1) = (p2 + 1)*(p+1)*(p-1) und 240 = 3*5*24

Die Teilbarkeit für 3 und 5 hab ich schon, stell mich aber bei 24 ein bisschen dümmlich an. Ich hab versucht damit zu argumentieren, dass alle Faktoren gerade sind, da p eine Primzahl und ≥ 7 ist. Ich weiß aber, dass das nicht ausreicht und wahrscheinlich auch ein falscher Ansatz ist.

Könnte mir bitte jemand helfen? :D

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

(p2 + 1) ist sicherlich gerade .

 p+1  und p-1  sind gerade Zahlen, die sich um 2 unterscheiden,

also eine davon durch 4 teilbar.

Avatar von 289 k 🚀

Reicht das schon als Beweis zu? Muss ich nicht noch irgendwie mit 24 argumentieren?

Du hast 2 Faktoren, die durch 2 teilbar sind (Also je einen

Primfaktor 2 enthalten.) und einen, der durch 4 teilbar ist,

also 2 mal den PF 2 enthält. Damit sind im Ergebnis 4 Stück.

Ja.. Ist schlüssig... Danke für die Hilfe!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community