Zeigen Sie, dass dann n^5 − n ohne Rest durch 30 teilbar ist in ℤ.

Question

Frage: Sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass dann n⁵ − n ohne Rest durch 30 teilbar ist in ℤ. (Ohne Induktion)

Also ich bin jetzt so weit, dass ich n⁵-n = (n-1)*n*(n+1)*(n²+1) und 30 = 2*3*5

Ich hab eine Rechnung das n⁵-n durch 5 Teilbar ist, stehe aber bei der Teilbarkeit von 2 und 3 aufm Schlauch. Ich hab die Frage auch schon gegoogelt, da wird die Teilbarkeit durch 2 und 3 aber als trivial angesehen... versteh ich nur nicht.

Wäre toll wenn mir das jemand erklären könnte. :)

Answer 1

Hallo,

bei (n-1)*n*(n+1) werden drei aufeinander folgende natürliche Zahlen multipliziert.

Mindestens eine von ihnen ist gerade, also durch 2 teilbar und eine ist durch 3 teilbar.