Wenn man die Aussage etwas anpasst:
"Gerade Quadratzahlen sind ohne Rest durch 4 teilbar, ungerade Quadratzahlen sind mit Rest 1 durch 8 teilbar."
... dann wird ein Schuh daraus. Jede gerade Zahl \(z\) kann man schreiben als \(z=2k\) mit \(k\in \mathbb{N}_0\). Das Quadrat von \(z\) ist
$$z^2 = 4 k^2$$
... und damit sicher durch 4 teilbar. Jede ungerade Zahl \(z\) kann man schreiben als \(z=2k+1\) mit \(k\in \mathbb{N}_0\). Das Quadrat ist dann
$$z^2 = (2k+1)^2= 4k^2 + 4k + 1=4(k^2+k) + 1$$
Ist \(k\) selbst gerade, so ist \((k^2+k)\) durch 2 teilbar, wenn \(k\) ungerade ist, dann ist \(k^2\) ebenfalls ungerade und die Summe von zwei ungeraden Zahlen \(k^2\) und \(k\) ist wieder gerade. Also ist \((k^2+k)\) immer eine gerade Zahl und enthält somit den Faktor \(2\). Daraus folgt, dass der Term
$$4(k^2+k) + 1 \quad k \in \mathbb{N}_0$$
immer mit Rest 1 durch 8 teilbar ist.
Gruß Werner
