Zeige: Für jedes n∈ℕ ist das reelle Polynom 1-X^n ohne Rest durch das reelle Polynom 1-X teilbar

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für jedes n∈ℕ ist das reelle Polynom 1-X^n ohne Rest durch das reelle Polynom 1-X teilbar. 

Answer 1

vollst. Induktion ?
n=1 ist klar
sei wahr für n

dann (1-xⁿ⁺¹    )  /  ( 1-x)    =  ( 1 - x^n - x^{n+1} +x^n ) / (1-x) 
= ( 1 - x^n) + ( 1 - x) * x^n )   / (1- x)

=( 1 - x^n)/ (1-x)   + ( 1 - x) * x^n )   / (1- x)

=( 1 - x^n)/ (1-x)   +  x^n

1. Summand ohne Rest wegen Ind. annahme und 2. Summand  ist Polynom

q.e.d.