Zeigen Sie, dass Cp ein kommutativer Ring ist. Für welche Primzahlen p>0 ist Cp ein Körper?

Question

Sei p>0 eine Primzahl und C_p=[a+ib ι a,b∈F_p].Für Rest von a+b bei Division durch p schreiben wir kurz Rest (a, b) und definieren auf Cp die Verknüpfungen.

(a+ib) + (a′+ib′) = Rest(a, a′ ) + iRest(b, b′)

(a+ib)·(a′+ib′) = Rest(aa′−bb′) +iRest(ab′+ba′)

Zeigen Sie, dass Cp ein kommutativer Ring ist. Für welche Primzahlen p>0 ist Cp ein Körper ?

Comments

Hallo

was hindert dich daran die Ringaxiome hinzuschreiben und dann einfach nachzurechnen?

Gruß lul

---

ich bin die Ringaxiome runtergegangen, aber komme immer noch nicht drauf für welche Primzahlen p>0 ist Cp ein Körper ist.

Answer 1

Hallo,

dass \( C_p \) ein kommutativer Ring ist, hast du schon gezeigt. Offensichtlich ist \( (a, b) = (1, 0) \) die Eins.

Wir untersuchen, für welche \( p \) es ein Inverses gibt,

\( (a + bi)(a' + bi) = 1 \),

und erhalten \( a' = \frac{a}{a^2 + b^2} \) und \( b' = - \frac{b}{a^2 + b^2} \).

Als Bedingung leiten wir \( a^2 + b^2 \neq 0 \) ab. Es muss insbesondere \( a^2 + b^2 \neq pk \) für alle \( 0 < a, b < p \) und \( 0 < k < p-1 \) gelten.

Der Zwei-Quadrate-Satz liefert für \( k = 1 \), dass \( p = 4n + 3 \) oder \( p\ \textrm{mod}\ 4 = 3 \) notwendige Bedingung dafür ist, dass alle Elemente in \( C_p \) invertierbar sind.

Die Aufgabenstellung fordert aber ein hinreichendes Kriterium, daher betrachten wir \( p \in \mathbb{Z} \) im Ring \( C_{\infty} = \mathbb{Z}[i]/(i^2 + 1) \): Ist \( p \) in \( C_{\infty} \) irreduzibel, so ist \( C_{\infty} / p \) ein Körper.

Dem Zwei-Quadrate-Satz folgend ist \( p > 2 \) in \( C_{\infty} \) genau dann irreduzibel, wenn \( p \neq 4n + 1 \).

Grüße

Mister

PS: Für den Zwei-Quadrate-Satz siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Zwei-Quadrate-Satz.

Answer 2

Alternativer Ansatz:

Der Ring \( C_p \) ist isomorph zum Ring \( R = \mathbb{F}_p[X]/(X^2 + 1) \). Ein Isomorphismus ist gegeben durch $$ \varphi : C_p \to \mathbb{F}_p[X]/(X^2 + 1) ,~ a+ib \mapsto a+\overline{X}b $$

$$ \begin{aligned} R \text{ K}\ddot{\textrm{o}}\text{rper } &\iff X^2+1 \text{ irreduzibel in } \mathbb{F}_p[X]\\ &\iff X^2 +1 \text{ besitzt keine Nullstelle in } \mathbb{F}_p \\ &\iff -1 \text{ quadratischer Nichtrest modulo } p \\ &\iff p \equiv 3 \mod (4) \end{aligned} $$

Die letzte Äquivalenz ist gerade der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.