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Einleitung
Ein kommutativer Körper ist eine algebraische Struktur, die bestimmte Eigenschaften erfüllt, die wir im Folgenden überprüfen werden. Ein kommutativer Körper \( (\mathbb{K}, +, \cdot) \) muss folgende Axiome erfüllen:
1.
Assoziativgesetz für beide Operationen \( + \) und \( \cdot \).
2.
Kommutativgesetz für beide Operationen \( + \) und \( \cdot \).
3.
Distributivgesetz verbindet die beiden Operationen.
4. Existenz von
neutralem Element bezüglich beider Operationen.
5. Existenz eines
inversen Elements bezüglich beider Operationen, außer dem Null-Element im Falle der Multiplikation.
6. Die Multiplikation ist überall definiert außer bei der Division durch das Null-Element.
Wir werden diese Axiome für die gegebenen Operationen \( \oplus \) und \( \otimes \) für \( (\mathbb{C} \times \mathbb{C}, \oplus, \otimes) \) überprüfen.
Assoziativgesetz
Für \( \oplus \): Nehmen wir drei beliebige Paare \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \in \mathbb{C}^2 \). Das Assoziativgesetz fordert, dass
\( ((x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2)) \oplus (x_3, y_3) = (x_1, y_1) \oplus ((x_2, y_2) \oplus (x_3, y_3)) \).
Nach Berechnung beider Seiten erhalten wir das gleiche Resultat, weil Addition in \(\mathbb{C}\) assoziativ ist.
Für \( \otimes \): Ähnlich verwenden wir drei beliebige Paare und zeigen durch Einsetzen und Nachrechnen, dass
\( ((x_1, y_1) \otimes (x_2, y_2)) \otimes (x_3, y_3) = (x_1, y_1) \otimes ((x_2, y_2) \otimes (x_3, y_3)) \), was aufgrund der Assoziativität der Multiplikation und der speziellen Eigenschaften der komplexen Konjugation gilt.
Kommutativgesetz
Für \( \oplus \): Das Kommutativgesetz für \( \oplus \) ist offensichtlich erfüllt, da
\( (x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_2, y_2) \oplus (x_1, y_1) \), basierend auf der Kommutativität der Addition in \(\mathbb{C}\).
Für \( \otimes \): Für die Operation \( \otimes \) zeigen wir, dass
\( (x_1, y_1) \otimes (x_2, y_2) = (x_2, y_2) \otimes (x_1, y_1) \), was auch wahr ist, indem wir die Definition der Verknüpfung genau betrachten und einsetzen.
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz kombiniert die beiden Operationen. Es gilt zu zeigen, dass
\( (x_1, y_1) \otimes ((x_2, y_2) \oplus (x_3, y_3)) = (x_1, y_1) \otimes (x_2, y_2) \oplus (x_1, y_1) \otimes (x_3, y_3) \), was durch direktes Einsetzen der Definitionen von \( \oplus \) und \( \otimes \) bewiesen wird.
Neutrales und Inverses Element
Neutrales Element:
- Für \( \oplus \): Das neutrale Element ist \( (0, 0) \), da \( (x, y) \oplus (0, 0) = (x, y) \).
- Für \( \otimes \): Das neutrale Element ist \( (1, 0) \), da \( (x, y) \otimes (1, 0) = (x, y) \).
Inverses Element:
- Für \( \oplus \): Das additive Inverse zu \( (x, y) \) ist \( (-x, -y) \), da \( (x, y) \oplus (-x, -y) = (0, 0) \).
- Für \( \otimes \): Das multiplikative Inverse ist komplexer; aufgrund der Definition von \( \otimes \) muss man zeigen, dass für ein gegebenes \( (x, y) \) ein \( (a, b) \) existiert, sodass \( (x, y) \otimes (a, b) = (1, 0) \). Die Lösung erfordert gewöhnlich die Lösung eines Gleichungssystems unter Verwendung der komplexen Konjugation.
Nullteilerfreiheit
Ein Körper darf keine Nullteiler haben. Verifizierung durch Annahme zwei nicht-null Elemente das Produkt null ergibt, um zu einem Widerspruch zu führen.
Schlussfolgerung
Wenn jede diese Eigenschaften mit den Operationen \( \oplus \) und \( \otimes \) erfüllt werden kann, dann ist \( (\mathbb{C} \times \mathbb{C}, \oplus, \otimes) \) ein kommutativer Körper. Details bei einigen Punkten, wie die spezifische Bestimmung inverser Elemente oder die Nullteilerfreiheit, erfordern direktes Nachrechnen unter Verwendung der Definitionen von \( \oplus \) und \( \otimes \), was jedoch grundsätzlich möglich ist, basierend auf den Eigenschaften der komplexen Zahlen und ihrer Konjugation.
