Seien x1, x2 ∈ ℂ. Zeigen Sie, dass |x1 + x 2 |^2 ≤ 2 · |x1|^2 + 2 · |x2|^2

Question

Seien z₁, z₂  ∈ ℂ. Zeigen Sie, dass

1.) |x₁ + x ₂ |² ≤ 2 ·  |x₁|²  + 2 · |x₂| ^2

2.) ||x ₁ |-|x₂|| ≤ |x ₁ + x₂|

 

Vielen Dank schon mal.

Comments

Sicher ,dass x1, x2 aus den komplexen Zahlen sein sollen?

Answer 1

Kann das sein, dass du in der ersten Gleichung ein Quadrat unterschlagen hast?

|x₁ + x₂|² ≤ 2·|_x1|² + 2·|x₂|^2 

mit x1 = a + bi und x2 = c + di

 

a^2 + 2·a·c + b^2 + 2·b·d + c^2 + d^2 ≤ 2·(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)

2·a·c + 2·b·d ≤ a^2 + b^2 + c^2 + d^2

0 ≤ a^2 - 2·a·c + c^2 + b^2 - 2·b·d + d^2

0 ≤ (a - c)^2 + (b - d)^2

Rechts stehen zwei Quadrate und Quadrate können ja nicht negativ sein. Daher wäre das erfüllt.

Comments

||a + b·i| - |c + d·i|| ≤ |a + b·i + c + d·i|

|√(a^2 + b^2) - √(c^2 + d^2)| ≤ √(a^2 + 2·a·c + b^2 + 2·b·d + c^2 + d^2)

- 2·√(a^2 + b^2)·√(c^2 + d^2) + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ≤ a^2 + 2·a·c + b^2 + 2·b·d + c^2 + d^2

- 2·√(a^2 + b^2)·√(c^2 + d^2) ≤ 2·a·c + 2·b·d

Wenn auf der rechten Seite etwas positives steht ist es eh erfüllt. Wenn auf der rechten Seite allerdings etwas negatives steht, dann quadriere ich. Durch das quadrieren kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.

4·(a^2 + b^2)·(c^2 + d^2) ≥ 4·a^2·c^2 + 8·a·b·c·d + 4·b^2·d^2

4·a^2·c^2 + 4·a^2·d^2 + 4·b^2·c^2 + 4·b^2·d^2 ≥ 4·a^2·c^2 + 8·a·b·c·d + 4·b^2·d^2

a^2·d^2 + b^2·c^2 ≥ 2·a·b·c·d

a^2·d^2 - 2·a·b·c·d + b^2·c^2 ≤ 0

(ad - bc)^2 ≥ 0

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wie kommst du in der dritten Zeile auf der linken Seite auf den  Term? ( der der mit -2 beginnt)

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Der Term stand vorher au der rechten Seite. Den habe ich also nur auf beiden Seiten subtrahiert.

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aber von der zweiten zur dritten Zeile hast du doch nicht mehr gemacht als quadriert oder? Wie kommt denn die -2 oder das Ende des linken Tems der 3. Zeile zustande?

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Na ganz ganz toll! Und ich reche mich hier dumm und dämlich! :(

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was soll das denn heißen? :D