Normierte Vektorräume. Es seien x, y, z ∈ R^n . Zeigen Sie: a) ΙΙxΙΙ − ΙΙyΙΙ ≤ ΙΙx − yΙΙ

Question

Bitte helfen Sie mir mit dieser Aufgabe.

Es seien x, y, z ∈ Rⁿ. Zeigen Sie:

(a) Es gilt ΙΙxΙΙ − ΙΙyΙΙ ≤ ΙΙx − yΙΙ

(b) Es gilt ΙΙxΙΙ= ΙΙyΙΙ genau dann, wenn x − y und x + y aufeinander senkrecht stehen.
(c) Sind x und y ungleich 0, dann gilt

 

(d) Es gilt ΙΙx − yΙΙ * ΙΙzΙΙ ≤ ΙΙy-zΙΙ*ΙΙxΙΙ + ΙΙz-xΙΙ*ΙΙyΙΙ

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Comments

(a)  \(\Vert x\Vert=\Vert(x-y)+y\Vert\le\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert\).

Answer 1

Hi,

a)

siehe Kommentar von nn.

b)

\(x-y\) und \(x+y\) stehen auf einander senkrecht genau dann, wenn \(<x-y,x+y>=0\).

Bedenke, dass \(<x,x>  \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

d)

Es gilt: \(\vert \vert x-y \vert \vert = \vert \vert y - z + z - x \vert \vert\)

Nun verwende die Dreiecksungleichung.

Comments

zu d)

wie genau soll man da vorgehen? Mit dem Hinweis kann ich leider nichts anfangen. Das z kann ich ja nicht einfach aus der Norm ziehen, da es sich ja dort schon aufhebt.

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Hi, da war ich etwas zu voreilig. Man kann die Ungleichung umformen zu:

$$ \frac{|x-y|}{|y| \cdot |x|}  \le  \frac{|y-z|}{|y| \cdot |z|}  +  \frac{|z-x|}{|z| \cdot |x|}  $$

Nun verwendet man Teil c) und erhält:

$$| \frac{|x|}{|x|^2} - \frac{|y|}{|y|^2}| \le | \frac{|y|}{|y|^2} - \frac{|z|}{|z|^2}| + | \frac{|z|}{|z|^2}-\frac{|x|}{|x|^2} | $$

Nun schlau eine Null in der linken Seite addieren und die Dreiecksungleichung anwenden :)

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Das z ist auf der linken Seite verloren gegangen. Oder soll man dies mit der Δ-Ungleichung rüberholen?

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Mit z konstruierst du dir eine 0 und wendest dann die Dreiecksungleichung an.