Den Rand der Menge Ur(x):={ y∈R^n : ΙΙx-yΙΙ <r } bestimmen

Question

kann Jemand bitte mir mit dieser Aufgabe helfen

Es sei x∈ℝⁿ und r >0. Wir definieren  ∂U_r(x):={ y∈ℝⁿ :  ΙΙx-yΙΙ =r}

Weisen Sie nach, dass die Menge  ∂U_r der Rand der Menge U_r(x):={ y∈ℝⁿ :  ΙΙx-yΙΙ <r } ist.

Answer 1

Ich würde mit der Erkenntnis arbeiten:

" Ein Punkt x gehört zum Rand der Menge M

<==>

Jede Umgebung von x enthält sowohl einen
Punkt von M als auch einen des Komplementes von M "

Sei also mit den vorgegebenen Bedingungen  z ∈  ∂U_r(x) =  { y∈ℝⁿ :  ΙΙx-yΙΙ =r}.

Und ε>0  (o.B.d.A. ε<r ) und   U_ε(z) =  { y∈ℝⁿ :  ΙΙy-zΙΙ < ε} die ε-Umgebung von z.

Dann ist z ∉ U_r(x) , weil  ΙΙx-zΙΙ =r , also  ΙΙx-zΙΙ <r sicher falsch ist.

Andererseits enthält   U_ε(z)  das Element  v = z -  ( z - x ) * (ε/2)/ || z-x||

(Kann man so machen, da  ε<r , also || z-x||  > 0 .)

Denn es gilt   ||  z -  ( z - x ) * (ε/2)/ || z-x||   - z ||

=   || -  ( z - x ) * (ε/2)/ || z-x||  ||

= ( (ε/2)/ || z-x||   ) * ||  ( z - x )  ||

=  (ε/2)  < ε.