Hilfestellung: Zeigen Sie, dass (ℤn,+, ·) ein kommutativer Ring ist

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Für alle m ∈ N, gibt es eindeutig bestimmte Elemente q, r ∈ N so dass

m = qn + r

mit 0 ≤ r ≤ n − 1. Wir schreiben rn(m) = r.

Sei n ∈ N mit n ≥ 2 und sei ℤn = {0, 1, 2, · · · , n − 1}. Für x, y ∈ Zn sei

x + y = rn(x + y) und x · y = rn(xy).

Zeigen Sie, dass (ℤn,+, ·) ein kommutativer Ring ist.

 

Unsere Definitionen:  Ein Ring ist kommutativ, falls gild xy=yx  ∀x,y∈R

Und natürlich für einen Ring: bsp (R,+,·)

-> (R,+) ist eine kommutative Gruppe (abelsch)

-> es existiert ein Einselement 1x = x1=x ∀x∈R

-> Verknüpfung · ist assoziativ

-> Distributivgesetz

 

Mein Problem: Ich bräuchte einen kleinen Ansatz. Ist grad wie ein Brett vorm Kopf :D. Also bitte einen Ansatz, keine Lösung, wenn es geht.

Answer 1

Da musst du wirklich alles einzeln zeigen:

 

1) (ℤn,+) ist abelsche Gruppe, also

1.1) (ℤn,+) ist abgeschlossen

1.2) (ℤn,+) ist assoziativ

1.3) (ℤn,+) hat ein neutrales Element

1.4) Jedes Element aus ℤn hat ein additives Inverses

1.5) (ℤn,+) ist kommutativ

2.) (ℤn,·) ist abelscher Monoid, also

 

2.1) (ℤn,·) ist abgeschlossen

2.2) (ℤn,·) ist assoziativ

2.3) (ℤn,·) hat ein neutrales Element

2.4) (ℤn,·) ist kommutativ

3) Es gelten die Distributivgesetze für (ℤn,+,·)

 

Comments

was hat es den mit m= qn+r auf sich? ist dann m=x+y, in diesem fall?

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Es geht darum, dass die Aufgabe auf der Teilbarkeit durch n beruht.

Wenn q ein "Vervielfältiger" von n und r ein möglicher Rest ist, so lässt sich jede ganze Zahl m schreiben als:

m=qn+r

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Wie zeigt man denn in diesem Fall z. B. den Punkt der Assoziativität und der Kommutativität?

Kann vielleicht jemand die ersten Schritte vormachen?

Z.B.: Im Fall der Kommutativität: x + y ⇔ y + x ⇔ (qn) + r ⇔ r + (qn). Ist das so richtig???

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also wenn z.b.  q=5 n=3 r=2, dann ist m= 17 und wenn man es umschreibt, so heißt es dann r(index 3) (17)=2, ist es richtig so?

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und dem nach wenn man zb hat: rn(11)= 11, wenn x=5 und y=6 so folgt, dass q= 0 ist?^^