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Brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe da ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.


Aufgabe:

Untersuchen sie die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x. Zeichnen Sie ihren Graphen für -1 ≤ x ≤ 3.

Unter welchem Winkel schneidet die Wendetangente von f die y-Achse? Wie groß ist der Inhalt des Dreiecks, das von Wendetangente, Wendenormale und y-Achse begrenzt wird?

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Aloha :)

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Wir benötigen von der Funktion$$f(x)=x^3-3x^2+2x$$den Wendepunkt. Also brauchen wir die Nullstellen der 2-ten Ableitung:$$f'(x)=3x^2-6x+2$$$$f''(x)=6x-6$$$$f'''(x)=6$$Die Nullstelle der 2-ten Ableitung ist offensichtlich \(x=1\). Da die dritte Ableitung \(\ne0\) ist, liegt dort tatsächlich eine Wendepunkt vor. Zusammen mit \(f(1)=0\) ist der Wendepunkt also \(\boxed{W(1|0)}\).

Die Wendetangente berührt die Funktion als bei \(x=1\), daher lautet ihre Gleichung:$$t_w(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)=0+(-1)\cdot(x-1)\implies \boxed{t_w(x)=-x+1}$$Die Wendetangente trifft die \(y\)-Achse also mit der Steigung \(-1\), sodass der Schnittwinkel \(-45^\circ\) beträgt.

Die Wendenormale steht senkrecht auf der Wendetangente, hat also die Steigung \((+1)\), und geht ebenfalls durch den Wendepunkt \(W(1|0)\). Sie hat daher die Geradengleichung:$$\boxed{t_n(x)=x-1}$$

Bildlich sieht die ganze Situatuion also wie folgt aus:

~plot~ x^3-3x^2+2x ; -x+1 ; x-1 ; {1|0} ; [[-1|3|-1,3|1,3]] ~plot~

Das beschriebene "Wendedreieck" hat die Fläche \(\frac12\cdot2\cdot1=1\).

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank das hat mir wirklich sehr geholfen,

ich verstehe aber nicht immer in der Aufgabenstellung was mit  "-1 ≤ x ≤ 3" gemeint ist, es kommt auch in Vielen aufgaben vor, aber ich weiß nicht was ich dort tun soll.

aber ich weiß nicht was ich dort tun soll.


Da sollst du gar nichts tun. Das heißt nur, dass du den Graphen nicht für das gesamte Intervall zwischen minus unendlich und unendlich zeichnen bzw. betrachten sollst, auch nicht zwischen -100 und 100, sondern nur zwischen -1 und 3.

Die Beschriftung deiner x-Achse muss also nur von -1 bis 3 gehen. Was links und rechts davon ist, interessiert nicht.

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