Extremwertaufgabe mit Kurvenschar (maximaler Flächeninhalt Dreieck)

Question

Die gegebene Kurvenschar ist f(x)= (x+a) * e^{-x}

Aufgabe: Stelle die Gleichung für die Wendetangente auf. Diese begrenzt im 1. Quadranten zusammen mit den Koordinatenachse eine Dreiecksfläche. Wie muss a gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Die Wendetangente habe ich bereits errechnet:

t(x)= - e^{a-2} * x + (4-a) * e^{a-2}

Mein Ansatz war jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks (das ja durch die Koordinatenachsen rechtwinklig ist) mit A=(a*b)/2 darzustellen. Dann habe ich probiert, die Wendetangente in diese Gleichung für y einzusetzen, aber es ist zu kompliziert mit mehreren Variablen. Weiß jemand weiter ?

Answer 1

Hi,
die Tangente ist richtig. Jetzte musst Du die Schnittpunkte von \( t(x) \) mit der x-Achse und der y-Achse berechnen, dass ergibt Dir die Grundlinie und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von \( a \). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist leicht, da für \( x = 4-a \) die Tangente \( t(4-a) = 0 \) gilt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist auch einfach, setzte einfache \( x = 0 \) ein und Du erhältst \( t(0) = (4-a)e^{a-2} \) als Höhe des Dreiecks. Also ist die Fläche des Dreiecks jetzt
$$ A(a) = \frac{(4-a)^2 e^{a-2}}{2} $$ Dieser Ausdruck muss maximiert werden. Du erhältst zwei Lösungen für \( a\), aber eine kannst Du ausschließen und Du findest das Maximum für \( a = 2 \)

Graph und Wendetangente sehen so aus.

Comments

Wow vielen Dank für die ausführliche Hilfe. Eine kleine Frage hätte ich noch. Habe gerade nachgerechnet und komme auch auf a=2 und a=4 wobei nur a=2 ein Maximum darstellt. Aber ich habe bei der Ableitung des Ausdrucks A(a) die 2 unter dem Bruchstrich sozusagen ignoriert, also auch nicht mit abgeleitet, ist das richtig ?

Also erste Ableitung: A(a)= e^{a-2} * (a^2-6a+8)
und zweite Ableitung: A(a)=e^{a-2} * (a^2-4a+2)

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Das kann man bedingt machen. Die Multiplikation einer Funktion \( f(x) \) mit einer Konstanten, z.B. mit \( \alpha \ne 0 \), verändert nicht die Nullstellen der ersten Ableitung. Also sei

$$ g(x) = \alpha f(x) $$ dann gilt, $$  g'(x) = \alpha f'(x) $$ und es gilt \( g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0\) gilt

D.h. die Nullstellen von \( f'(x) \) entsprechend unter dieser Voraussetzung den Nullstellen von \( g'(x) \)

Um zu entscheiden ob an der Stelle ein Maximum oder Minimum vorliegt ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung wichtig. Hier ergibt sich

$$  g''(x) = \alpha f''(x) $$ Gilt jetzt \( f''(x) < 0 \) hat man für \( f(x) \) ein Maximum aber für \( \alpha < 0 \)  gilt \( g''(x) > 0 \). Also hat man für \( g(x) \) ein MInimum.

Man muss also auf das Vorzeichen von \( \alpha \) achten. Gilt \( \alpha > 0 \) wie bei Deiner Aufgabe, ist das Vorgehen korrekt. Also Glück gehabt.