Divergenz der Reihe ∑ (√k - √(k-1)) zeigen.

Question

Wie zeige ich, dass folgende Reihe divergiert?

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}) \)

Answer 1

Einfach nur mit dem konjugiertem erweitern und 3. Binomische Formel. Anschliessen passend abschaetzen.

√k-√(k-1)= [(√k-√(k-1)  ) (√k+√(k-1)  ) ]/ (√k+√(k-1)  ) = 1/(√k+√(k-1)  ) > 1/(k+(k-1)) > 1/(3k) für k ≥1)

Laut dem minoranten Kriterium divergiert die Reihe, weil die Summe ueber 1/k selbst divergent ist.

Answer 2

Divergenz der Reihe ∑ (√k - √(k-1)) zeigen.

Summiere von k=1 bis 5

∑ (√k - √(k-1)) = √1 - √0 + √2 - √1 + √3 - √2 + √4 - √3 + √5 - √4 = √5 (eine Teleskopsumme!)


Summiert man von k=1 bis n ergibt sich

∑ (√k - √(k-1)) = √n

Jetzt Grenzwert n gegen unendlich:


lim ∑ (√k - √(k-1)) = lim √n = ∞

Reihe divergiert.

Anm: Ergänze die fehlenden Angaben über und unter dem Summenzeichen und unter lim.