Nullstellen bei Funktion mit ln

Question

Aufgabe:

Ich muss von der funktion: f(x)= x² * ln(x), alle lokalen extrema herrausfinden.

Problem/Ansatz:

Dafür muss man ja erst die funktion ableiten, das habe ich gemacht: f'(x) = x + 2x * ln(x)

Jedoch komme ich hier nicht weiter, beim nullstellen der funtkion:

x + 2x * ln(x) = 0

Wie genau funktioniert das mit einer ln?

Answer 1

Klammere x aus und benutze dann die Tatsache, dass
ein Produkt Null ist, wenn ein Faktor Null ist.

Answer 2

f(x) = x^2·LN(x)

f'(x) = 2·x·LN(x) + x = x·(2·LN(x) + 1) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt

x = 0

2·LN(x) + 1 = 0
2·LN(x) = -1
LN(x) = -1/2
x = e^{-1/2} = 1/√e = 0.6065

Comments

Eine Frage, während der Klausur darf ich keinen Taschenrechner benutzen, wie soll ich dann auf 0.6065 kommen? oder soll ich dort e^-1/2 stehen lassen dann, statt es umzurechnen?

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Du solltest es als 1/√e schreiben.

Meine dezimale Näherung ist nur für Leute die sich unter 1/√e nichts vorstellen können.

Beachte aber, dass dies nicht das lokale Extrema ist, sondern nur die Stelle, an der das Extrema angenommen wird.

Du solltest daher die Extremstelle nochmals in die Funktion einsetzen und auch noch bestimmen, ob es evtl. ein Maximum oder ein Minimum ist. Und dir sollte auch Klar sein, dass ein Einsetzen von e^{-1/2} = 1/√e hier am geschicktesten ist.