Translation in die Normalform

Question

Aufgabe:

\(M:=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{3}{2} x_{1}^{2}+\frac{3}{2} x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_{1}+x_{2}\right)-\frac{3}{4}=0\right\} \)

a) Bringen Sie M mithilfe einer orthogonalen Transformation und einer anschließenden Translation in Normalform

Problem/Ansatz:

Hallo an Alle, könnte mir jemand behilflich sein? Ich habe bereits die orthogonal Transformation berechnet, aber hänge bei der Translation in der Normalform fest. Wie kriege ich die denn raus?

Comments

Außer Konkurrenz: ich homogenisiere die Gleichung der

Quadrik normalwerweise duch Einführung einer dritten

Variablen \(x_3\). Dann diagonalisiere ich orthogonal

und setze zum Schluss \(x_3=1\). Dieser Übergang in

die projektive Geometrie und zurück ist bei euch

wohl eher unbekannt?

Ihn zu erklären ist mir hier aber zu aufwendig.

Sicher habt ihr eine andere adäquate Methode ...

Answer 1

Du kannst Deine Aufgabe mal hier

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

einbringen.

Weil ggb die Daten nicht rundungsfehlerfrei ins CAS birngt müsstest Du die Zeile

(5) C:={3 / 2, 3 / 2, -3 / 4, -1, 1/sqrt(2), 1/sqrt(2)}

händisch mit den Wurzeln überschreiben um exakte Ergebnisse zu erhalten

es wird gedreht mit

\(\small S \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right)\)

auf \(q_D: \, x^{2} + 2 \; y^{2} + 2 \; x = \frac{3}{4}\)

und verschoben mit \(T \, :=  \, \left\{ x = x - \frac{1}{2}, y = y, \frac{-1}{4} \right\} \)

zu \(q_N: \, x^{2} + 2 \; y^{2} = 1\)

Du kannst nach die Ev vertauschen [EV x] um auf andere Lösungen zu kommen.

Comments

Vielen dank Wächter!

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Ja, wenns hilft ;-)

Ich hab die Verschiebung/Translation ausgebessert - ich hatte die EVs vertauscht...