Für alle Mengen M und N gilt: Aus M ∪ N = N folgt M\N = ∅.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie oder widerlegen Sie: Für alle Mengen M und N gilt:

Aus M ∪ N = N folgt M\N = ∅.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Ich dachte, mit einem Kontrapositionsbeweis. Und dann würde ich einfach für die Mengen jeweils Elemente wählen und das dann zeigen. Aber man kann ja nicht mit einem Beispiel beweisen, sondern muss ja allgemein beweisen.

Wie würde man das hier machen?

Liebe Grüße

Answer 1

Wir haben
\( \begin{aligned} x \in M \backslash N & \Longleftrightarrow x \in M \wedge x \notin N \\ & \Longrightarrow x \in M \cup N \wedge x \notin N \\ & \Longleftrightarrow x \in N \wedge x \notin N \end{aligned} \)
was jedoch ein Widerspruch ist, also ist \( M \backslash N=\varnothing \).

Verständnisfrage: In welchem Schritt wurde \(M\cup N = N \) verwendet?

Comments

Naja, im letzten Schritt. Aber von der ersten Zeile in die Zweite...

ist x ∈ M ∧ x ∉ N immer äquivalent zu x ∈ M ∪ N ∧ x ∉ N?

Also immer?

Da x nicht in N ist, kann ich N ruhig als Vereinigung mit M dazu schreiben, da es eh nichts ausmacht, da ja x nicht in N ist?

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Ich weiss nicht was du meinst. Ich sehe da nur eine einseitige Implikation. Offensichtlich ist das keine Äquivalenz.

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Jetzt bin ich noch verwirrter. Wieso impliziert es das? Also ist es ein Kontrapositionsbeweis oder? hä....

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\( A \implies A \lor B\) (kannst das gerne mit einer Wahrheitstabelle überprüfen ...)

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Also ist in diesem Falle M\N das A, welches M ∪ N impliziert, wobei M ∪ N = M ∨ N?

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Nein, \(A = x \in M\) und \(B=x \in N\)

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Und wo finde ich das in deinem Beweis wieder??

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Das würde ich mir nicht so kompliziert vorstellen. Wenn x∈M ist dann wird auch x∈M∪N gelten, da M ⊂ M∪N. Die Menge wird also nur größer gemacht. Das ist die einfachste Erklärung für die zweite Umformung