Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei y=3 und nimmt ihr Maximum bei x=1 an.

Das Integral über dem Intervall I=[0;3] ergibt 9. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel

Problem/Ansatz:

Ich habe halt c=3 rausbekommen aber ich die anderen Variablen nicht raus..

Answer 1

Die Aufgabe hat keine eindeutige Lösung. Die Gleichung

f(x) = a·x² - 2·a·x + 3 für a < 0

erfüllt alle Bedingungen.

Benutze für ähnliche Aufgaben http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0)=3
f'(1)=0
I(0;3)=9

Answer 2

Aloha :)

Wenn eine Parabel ihr Maximum bei $x=1$ hat, lautet ihre Form:$$y(x)=-a(x-1)^2+b\quad;\quad a>0\;;\;b\in\mathbb R$$Mit $a>0$ ist die Parabel nach unten geöffnet, sodass bei $x=1$ tatsächlich ein Maximum vorliegt. Wir kennen noch den Punkt $(0|3)$ der Parabel, sodass wir Folgendes über $b$ wissen:$$3=y(0)=-a\cdot(-1)^2+b=-a+b\implies b=a+3$$Damit können wir die Form der Parabel weiter verfeinern:$$y(x)=-a(x-1)^2+(a+3)\quad;\quad a>0$$

Den Parameter $a$ erhalten wir aus der Bedingung für das Integral:$$9\stackrel!=\int\limits_0^3y(x)\,dx=\left[-\frac13a(x-1)^3+(a+3)x\right]_{x=0}^{x=3}=\left(-\frac83a+3a+9\right)-\left(\frac13a\right)=9$$Das Integral hat für alle $a>0$ den Wert $9$. Daher kann $a>0$ beliebig gewählt werden.

Als Lösung würde ich die gefundene Gleichung noch vereinfachen und wie folgt angeben:$$y(x)=-ax^2+2ax+3\quad;\quad a>0$$