Aloha :)
Wenn eine Parabel ihr Maximum bei \(x=1\) hat, lautet ihre Form:$$y(x)=-a(x-1)^2+b\quad;\quad a>0\;;\;b\in\mathbb R$$Mit \(a>0\) ist die Parabel nach unten geöffnet, sodass bei \(x=1\) tatsächlich ein Maximum vorliegt. Wir kennen noch den Punkt \((0|3)\) der Parabel, sodass wir Folgendes über \(b\) wissen:$$3=y(0)=-a\cdot(-1)^2+b=-a+b\implies b=a+3$$Damit können wir die Form der Parabel weiter verfeinern:$$y(x)=-a(x-1)^2+(a+3)\quad;\quad a>0$$
Den Parameter \(a\) erhalten wir aus der Bedingung für das Integral:$$9\stackrel!=\int\limits_0^3y(x)\,dx=\left[-\frac13a(x-1)^3+(a+3)x\right]_{x=0}^{x=3}=\left(-\frac83a+3a+9\right)-\left(\frac13a\right)=9$$Das Integral hat für alle \(a>0\) den Wert \(9\). Daher kann \(a>0\) beliebig gewählt werden.
Als Lösung würde ich die gefundene Gleichung noch vereinfachen und wie folgt angeben:$$y(x)=-ax^2+2ax+3\quad;\quad a>0$$
