Integral lösen sin^3

Question

\( \int\limits_{0}^{\infty} \)  sin ³ (x) = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) sin(x) \( \int\limits_{0}^{\infty} \)sin² (x)

Mein Ansatz war sin³ (x) auf zuteilen. Ich kam aber nicht auf das richtige Ergebnis.

Bei meiner Aufgabe sind keine Grenzen gegeben.

Könnte mir jemand einen Rechenweg darlegen, sodass ich meinen Fehler finde?

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Für die obere Grenze \(\infty\) konvergiert das Integral nicht. Daher solltest du nicht einfach Grenzen erfinden, wo keine sind. Das Integral selbst ist etwas schwierig zu berechnen, wenn einem die Übung fehlt. Daher rate ich auch dringend von der Verwendung irgendwelcher "Integralrechner" ab. Mathematik lernt man, indem man sie tut.

Ich schreibe mal die Lösung hin. Wenn was unklar ist, bitte einfach nochmal nachfragen:$$I=\int\sin^3x\,dx$$Wegen \(\sin^2x=1-\cos^2x\) können wir das Integral in 2 Integrale aufteilen:$$I=\int\limits\sin x\cdot\sin^2x\,dx=\int\sin x\cdot(1-\cos^2x)\,dx=\int\sin x\,dx-\int\sin x\cos^2x\,dx$$

Das erste Integral ist \((-\cos x)\). Beim zweiten Integral erkennen wir in \((-\sin x)\) die "innere Ableitung" von \(\frac13\cos^3x\) wieder und sind fertig:$$I=-\cos x+\frac13\cos^3x+C$$

Comments

Bei meiner Aufgabe sind keine Grenzen gegeben.

(Der Fragesteller hat einfach den vom Formeleditor vorgegebenen LaTeX-Baustein für Integrale genommen und die dort vorgegebenen Grenzen nicht gelöscht.)

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Danke, das war sehr hilfreich, habe meinen Fehler direkt gefunden!