Integral mit partieller Integration lösen

Question

Aufgabe:

Mit partieller Integration ist zu zeigen dass für alle t,M >0 gilt:

\( \int \limits_{0}^{M} e^{-x*t}sin(x)dx = \frac{1-e^{t*M}cos(M)-t*e^{-t*M} sin(M)}{t^2+1} \)

Würde mich freuen falls mir jemand helfen kann

Answer 1

∫ SIN(x)·e^(- t·x) dx

= - COS(x)·e^(- t·x) - ∫ t·COS(x)·e^(- t·x) dx

= - COS(x)·e^(- t·x) - (t·SIN(x)·e^(- t·x) - ∫ - t^2·SIN(x)·e^(- t·x) dx)

= - COS(x)·e^(- t·x) - t·SIN(x)·e^(- t·x) - ∫ t^2·SIN(x)·e^(- t·x) dx

∫ SIN(x)·e^(- t·x) dx = - COS(x)·e^(- t·x) - t·SIN(x)·e^(- t·x) - t^2·∫ SIN(x)·e^(- t·x) dx

(1 + t^2) ∫ SIN(x)·e^(- t·x) dx = - COS(x)·e^(- t·x) - t·SIN(x)·e^(- t·x)

∫ SIN(x)·e^(- t·x) dx = (- COS(x)·e^(- t·x) - t·SIN(x)·e^(- t·x)) / (1 + t^2)

∫ (0 bis M) ... dx = (- COS(M)·e^(- t·M) - t·SIN(M)·e^(- t·M)) / (1 + t^2) - (- COS(0)·e^(- t·0) - t·SIN(0)·e^(- t·0)) / (1 + t^2)

∫ (0 bis M) ... dx = (- COS(M)·e^(- t·M) - t·SIN(M)·e^(- t·M)) / (1 + t^2) - (- 1 - 0) / (1 + t^2)

∫ (0 bis M) ... dx = (- COS(M)·e^(- t·M) - t·SIN(M)·e^(- t·M)) / (1 + t^2) + 1 / (1 + t^2)

∫ (0 bis M) ... dx = (1 - COS(M)·e^(- t·M) - t·SIN(M)·e^(- t·M)) / (1 + t^2)